Jak znaleźć stałą czasową w obwodach RC i RL
Czym jest stała czasowa?
Stała czasowa – zazwyczaj oznaczana grecką literą τ (tau) – jest używana w fizyce i inżynierii do charakteryzowania odpowiedzi na skokowe wejście systemu pierwszego rzędu, liniowego, niezmiennego w czasie (LTI) systemu sterowania. Stała czasowa jest główną jednostką charakterystyczną systemu LTI pierwszego rzędu.
Stała czasowa jest powszechnie używana do charakteryzowania odpowiedzi obwodu RLC.
Aby to zrobić, wywnioskujmy stałą czasową dla obwodu RC oraz stałą czasową dla obwodu RL.
Stała czasowa obwodu RC
Rozważmy prosty obwód RC, jak pokazano poniżej.
Przyjmijmy, że kondensator jest początkowo rozładowany, a przełącznik S zostaje zamknięty w chwili t = 0. Po zamknięciu przełącznika, prąd elektryczny i(t) zaczyna przepływać przez obwód. Zastosujmy Prawo Kirchhoffa dla napięć w tym pojedynczym obwodzie siatkowym, otrzymujemy,
Różniczkując obie strony względem czasu t, otrzymujemy,
Całkując obie strony, otrzymujemy,
Teraz, w chwili t = 0, kondensator zachowuje się jako zwarcie, więc, tuż po zamknięciu przełącznika, prąd przez obwód będzie wynosił,
Teraz, podstawiając tę wartość do równania (I), otrzymujemy,
Podstawiając wartość k do równania (I), otrzymujemy,
Teraz, jeśli podstawimy t = RC do końcowego wyrażenia prądu obwodowego i(t), otrzymamy,
Z powyższego wyrażenia matematycznego wynika, że RC to czas w sekundach, podczas którego prąd w nabijanym kondensatorze maleje do 36,7% od jego początkowej wartości. Początkowa wartość oznacza prąd w chwili włączenia niezmienionego kondensatora.
Ten termin jest bardzo istotny w analizie zachowania obwodów kondensacyjnych oraz indukcyjnych. Ten termin jest znany jako stała czasowa.
Więc stala czasowa to czas w sekundach, podczas którego prąd przez obwód kondensacyjny spada do 36,7% jego początkowej wartości. Jest to numerycznie równe iloczynowi oporu i pojemności obwodu. Stała czasowa jest zwykle oznaczana symbolem τ (tau). Więc,
W złożonym obwodzie RC, stała czasowa będzie równa równoważnej wartości oporu i pojemności obwodu.
Omówmy znaczenie stałej czasowej bardziej szczegółowo. Aby to zrobić, narysujmy najpierw prąd i(t).
W chwili t = 0, prąd przez obwód kondensatora wynosi
W chwili t = RC, prąd przez kondensator wynosi
Rozważmy kolejny obwód RC.
Równania obwodowe przy użyciu Prawa Kirchhoffa dla napięć dla powyższych obwodów są:
