چگونه می‌توان ثابت زمانی در مدارهای RC و RL را یافت
ثابت زمانی چیست؟
ثابت زمانی که معمولاً با حرف یونانی τ (تاو) نشان داده می‌شود، در فیزیک و مهندسی برای مشخص کردن پاسخ به ورودی پله‌ای یک سیستم مرتبه اول، خطی و ثابت با زمان (LTI) سیستم کنترل استفاده می‌شود. ثابت زمانی واحد اصلی یک سیستم LTI مرتبه اول است.
ثابت زمانی معمولاً برای مشخص کردن پاسخ یک مدار RLC استفاده می‌شود.
برای این کار، بیایید ثابت زمانی یک مدار RC و ثابت زمانی یک مدار RL را محاسبه کنیم.
ثابت زمانی یک مدار RC
بیایید یک مدار RC ساده را در نظر بگیریم، مانند آنچه در زیر نشان داده شده است.
فرض کنید خازنه ابتدا بدون بار است و سوئیچ S در زمان t = 0 بسته می‌شود. پس از بستن سوئیچ، جریان الکتریکی i(t) در مدار شروع به جریان می‌کند. با استفاده از قانون ولتاژ کیرشهف در آن مدار یک‌شبکه‌ای، داریم،
با مشتق گرفتن هر دو طرف نسبت به زمان t، داریم،
با انتگرال گرفتن هر دو طرف داریم،
حالا، در t = 0، خازنه مانند یک کوتاه‌مدار عمل می‌کند، بنابراین، دقیقاً بعد از بستن سوئیچ، جریان در مدار خواهد بود،
حالا، با قرار دادن این مقدار در معادله (I)، داریم،
با قرار دادن مقدار k در معادله (I)، داریم،
حالا، اگر t = RC را در عبارت نهایی جریان مدار i(t) قرار دهیم، داریم،
از این عبارت ریاضی مشخص است که RC زمانی است که جریان در یک خازنه شارژ شونده به 36.7 درصد از مقدار اولیه‌اش کاهش می‌یابد. مقدار اولیه به معنای جریان در زمان روشن شدن خازنه‌ای است که تغییر نکرده است.
این اصطلاح در تحلیل رفتار مدارهای خازنه‌ای و القایی بسیار مهم است. این اصطلاح به عنوان ثابت زمانی شناخته می‌شود.
بنابراین ثابت زمانی زمانی است که در آن جریان در یک مدار خازنه‌ای به 36.7 درصد از مقدار اولیه‌اش کاهش می‌یابد. این عدد برابر با حاصل ضرب مقاومت و ظرفیت مدار است. ثابت زمانی معمولاً با τ (تاو) نشان داده می‌شود. بنابراین،
در یک مدار RC پیچیده، ثابت زمانی مقاومت و ظرفیت معادل مدار خواهد بود.
بیایید اهمیت ثابت زمانی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم. برای این کار، ابتدا بیایید جریان i(t) را رسم کنیم.
در t = 0، جریان در مدار خازنه خواهد بود
در t = RC، جریان در خازنه خواهد بود
بیایید یک مدار RC دیگر را در نظر بگیریم.
معادلات مدار با استفاده از قانون ولتاژ کیرشهف مدارهای فوق عبارتند از،
