Как найти постоянную времени в RC и RL цепях

Что такое постоянная времени?

Постоянная времени – обычно обозначаемая греческой буквой τ (тау) – используется в физике и инженерии для описания реакции на ступенчатый вход первого порядка, линейной неизменной во времени (LTI) системы управления. Постоянная времени является основной характеристикой системы первого порядка LTI.

Постоянная времени часто используется для описания реакции RLC-цепи.

Для этого давайте выведем постоянную времени для RC-цепи и постоянную времени для RL-цепи.

Постоянная времени RC-цепи

Рассмотрим простую RC-цепь, как показано ниже.

Предположим, что конденсатор изначально разряжен, а переключатель S закрывается в момент времени t = 0. После закрытия переключателя электрический ток i(t) начинает протекать по цепи. Применим Закон Кирхгофа для напряжений к этой однопетлевой цепи, получим,

Продифференцируем обе части уравнения по времени t, получим,

Теперь, при t = 0, конденсатор ведет себя как короткое замыкание, поэтому сразу после закрытия переключателя, ток через цепь будет равен,

Теперь, подставив это значение в уравнение (I), получим,

Подставив значение k в уравнение (I), получим,

Теперь, если мы подставим t = RC в окончательное выражение тока i(t) цепи, получим,

Из вышеуказанного математического выражения ясно, что RC – это время в секундах, за которое ток в заряжающемся конденсаторе уменьшается до 36,7% от его начального значения. Начальное значение означает ток в момент включения незаряженного конденсатора.

Этот термин очень важен для анализа поведения емкостных и индуктивных цепей. Этот термин известен как постоянная времени.

Таким образом, постоянная времени – это продолжительность в секундах, за которую ток через емкостную цепь становится 36,7% от его начального значения. Это численно равно произведению сопротивления и емкости цепи. Постоянная времени обычно обозначается τ (тау). Таким образом,

В сложной RC-цепи постоянная времени будет эквивалентным сопротивлением и емкостью цепи.

Рассмотрим подробнее значимость постоянной времени. Для этого сперва построим график тока i(t).

При t = 0, ток через конденсатор будет

При t = RC, ток через конденсатор будет

Рассмотрим еще одну RC-цепь.

Уравнения цепи, используя ЗКН для вышеуказанных цепей, будут следующими:

и