Πώς να βρείτε τη σταθερά χρόνου σε περιβάλλοντα RC και RL

Τι είναι η σταθερά χρόνου

Η σταθερά χρόνου – συνήθως σημειώνεται με το γράμμα της ελληνικής αλφάβητου τ (ταυ) – χρησιμοποιείται στη φυσική και τη μηχανική για να χαρακτηριστεί η απόκριση σε βήμα εισόδου ενός πρώτης τάξης, γραμμικού συστήματος που δεν μεταβάλλεται με το χρόνο (LTI) συστήματος ελέγχου. Η σταθερά χρόνου είναι η κύρια χαρακτηριστική μονάδα ενός συστήματος LTI πρώτης τάξης.

Η σταθερά χρόνου χρησιμοποιείται συνήθως για να χαρακτηριστεί η απόκριση ενός κυκλώματος RLC.

Για να το κάνουμε αυτό, ας πάρουμε τη σταθερά χρόνου για ένα κύκλωμα RC και τη σταθερά χρόνου για ένα κύκλωμα RL.

Σταθερά χρόνου ενός κυκλώματος RC

Ας λάβουμε ένα απλό κύκλωμα RC, όπως φαίνεται παρακάτω.

Υποθέστε ότι ο καταθρέψη είναι αρχικά ανεφοδιασμένη και ο διαχειριστής S είναι κλειστός στο χρόνο t = 0. Μετά το κλείσιμο του διαχειριστή, ηλεκτρικός ρεύμα i(t) ξεκινά να ρέει μέσα στο κύκλωμα. Εφαρμόζοντας Κανόνα τάσης Kirchhoff σε αυτό το μονό κύκλωμα, παίρνουμε,

Παραγωγίζοντας και τα δύο πλευρά με το χρόνο t, παίρνουμε,

Τώρα, στο t = 0, ο καταθρέψη συμπεριφέρεται ως μια σύνδεση, έτσι, αμέσως μετά το κλείσιμο του διαχειριστή, το ρεύμα μέσα στο κύκλωμα θα είναι,

Τώρα, βάζοντας αυτή την τιμή στην εξίσωση (I), παίρνουμε,

Βάζοντας την τιμή του k στην εξίσωση (I), παίρνουμε,

Τώρα, αν βάλουμε t = RC στην τελική έκφραση του ρεύματος i(t) του κυκλώματος, παίρνουμε,

Από την παραπάνω μαθηματική έκφραση, είναι σαφές ότι η RC είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα κατά τον οποίο το ρεύμα σε ένα φορτιζόμενη καταθρέψη μειώνεται στο 36,7% της αρχικής του τιμής. Η αρχική τιμή σημαίνει το ρεύμα στη στιγμή της ενεργοποίησης της ανεφοδιασμένης καταθρέψης.

Αυτός ο όρος είναι πολύ σημαντικός στην ανάλυση της συμπεριφοράς των κυκλωμάτων καταθρέψης καθώς και των κυκλωμάτων με δεξαμενή. Αυτός ο όρος είναι γνωστός ως η σταθερά χρόνου.

Έτσι, η σταθερά χρόνου είναι η διάρκεια σε δευτερόλεπτα κατά την οποία το ρεύμα μέσα σε ένα κυκλώμα καταθρέψης μειώνεται στο 36,7% της αρχικής του τιμής. Αυτή είναι αριθμητικά ίση με το γινόμενο της αντίστασης και της τιμής της καταθρέψης του κυκλώματος. Η σταθερά χρόνου συνήθως σημειώνεται με το τ (ταυ). Έτσι,

Σε ένα περίπλοκο κύκλωμα RC, η σταθερά χρόνου θα είναι η ισοδύναμη αντίσταση και καταθρέψη του κυκλώματος.

Ας συζητήσουμε τη σημασία της σταθεράς χρόνου με περισσότερες λεπτομέρειες. Για να το κάνουμε αυτό, ας σχεδιάσουμε πρώτα το ρεύμα i(t).

Στο t = 0, το ρεύμα μέσα στο κύκλωμα καταθρέψης είναι