Wie man die Zeitkonstante in RC- und RL-Schaltkreisen findet
Was ist die Zeitkonstante?
Die Zeitkonstante – in der Regel mit dem griechischen Buchstaben τ (tau) bezeichnet – wird in der Physik und im Ingenieurwesen verwendet, um die Reaktion auf eine Stufenfunktion eines ersten Grades, linearen zeitinvarianten (LTI) Regelsystems zu charakterisieren. Die Zeitkonstante ist die Hauptcharakteristika einer LTI-Systeme ersten Grades.
Die Zeitkonstante wird häufig verwendet, um die Reaktion eines RLC-Schaltkreises zu charakterisieren.
Um dies zu tun, leiten wir die Zeitkonstante für einen RC-Schaltkreis und die Zeitkonstante für einen RL-Schaltkreis her.
Zeitkonstante eines RC-Schaltkreises
Betrachten wir einen einfachen RC-Schaltkreis, wie unten dargestellt.
Nehmen wir an, dass der Kondensator anfangs ungeladen ist und der Schalter S zum Zeitpunkt t = 0 geschlossen wird. Nachdem der Schalter geschlossen wurde, beginnt der Strom i(t) durch den Schaltkreis zu fließen. Durch Anwendung des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes in diesem Einzelnetzschaltkreis erhalten wir,
Differenzieren wir beide Seiten nach der Zeit t, erhalten wir,
Integrieren wir beide Seiten, erhalten wir,
Zum Zeitpunkt t = 0 verhält sich der Kondensator wie ein Kurzschluss, so dass der Strom durch den Schaltkreis kurz nach dem Schließen des Schalters ist,
Setzen wir diesen Wert in Gleichung (I) ein, erhalten wir,
Setzen wir den Wert von k in Gleichung (I) ein, erhalten wir,
Wenn wir nun t = RC in den endgültigen Ausdruck des Schaltkreisstroms i(t) einsetzen, erhalten wir,
Aus diesem mathematischen Ausdruck geht hervor, dass RC die Zeit in Sekunden ist, während der der Strom in einem ladenden Kondensator auf 36,7 Prozent seines Anfangswerts abnimmt. Der Anfangswert bedeutet den Strom zum Zeitpunkt des Einschaltens des unveränderten Kondensators.
Dieser Begriff ist sehr wichtig bei der Analyse des Verhaltens von kapazitiven sowie induktiven Schaltkreisen. Dieser Begriff wird als Zeitkonstante bezeichnet.
Die Zeitkonstante ist also die Dauer in Sekunden, während der der Strom durch einen kapazitiven Schaltkreis auf 36,7 Prozent seines Anfangswerts abnimmt. Dies entspricht numerisch dem Produkt aus Widerstand und Kapazität des Schaltkreises. Die Zeitkonstante wird normalerweise mit τ (tau) bezeichnet. Also:
In einem komplexen RC-Schaltkreis ist die Zeitkonstante der äquivalente Widerstand und die Kapazität des Schaltkreises.
Lassen Sie uns die Bedeutung der Zeitkonstante im Detail erläutern. Dazu zeichnen wir zunächst den Strom i(t).
Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Strom durch den Kondensator-Schaltkreis
Zum Zeitpunkt t = RC ist der Strom durch den Kondensator
Betrachten wir einen weiteren RC-Schaltkreis.
Die Schaltungsgleichungen unter Verwendung des KVL der obigen Schaltungen sind,
