كيفية إيجاد الثابت الزمني في الدوائر RC و RL

ما هو الثابت الزمني؟

يُستخدم الثابت الزمني - الذي يُرمز له عادة بالحرف اليوناني τ (تاو) - في الفيزياء والهندسة لوصف استجابة النظام للإدخال الخطوة في نظام من الدرجة الأولى، الخطي غير المتغير مع الزمن (LTI) نظام التحكم. الثابت الزمني هو الوحدة الرئيسية المميزة لنظام LTI من الدرجة الأولى.

يُستخدم الثابت الزمني بشكل شائع لوصف استجابة دارة RLC.

لنقوم بحساب الثابت الزمني لدارة RC والثابت الزمني لدارة RL.

الثابت الزمني لدارة RC

لنأخذ دارة RC بسيطة كما هو موضح أدناه.

لنفترض أن المكثف غير مشحون في البداية وتم إغلاق المفتاح S عند الوقت t = 0. بعد إغلاق المفتاح، يبدأ تيار كهربائي i(t) بالتدفق عبر الدائرة. باستخدام قانون كيرشوف للجهد في تلك الدائرة ذات الشبكة الواحدة، نحصل على:

بتقديم المشتقة لكلا الجانبين بالنسبة للوقت t، نحصل على:

الآن، عند t = 0، يتصرف المكثف كموصل قصير، لذا، فور إغلاق المفتاح، سيكون التيار عبر الدائرة:

الآن، بوضع هذا القيمة في المعادلة (I)، نحصل على:

بوضع قيمة k في المعادلة (I)، نحصل على:

الآن، إذا وضعنا t = RC في التعبير النهائي لتيار الدائرة i(t)، نحصل على:

من خلال هذا التعبير الرياضي، يتضح أن RC هي الفترة بالثواني التي يكون فيها تيار المكثف أثناء الشحن قد تقل إلى 36.7% من قيمته الأولية. القيمة الأولية تعني التيار عند تشغيل المكثف غير المشحون.

هذا المصطلح مهم جداً في تحليل سلوك الدارات السعة وكذلك الدارات الحثية. يُعرف هذا المصطلح باسم الثابت الزمني.

لذا فإن الثابت الزمني هو المدة بالثواني التي يصبح فيها التيار عبر دائرة السعة 36.7% من قيمته الأولية. وهذا يساوي عددياً حاصل ضرب المقاومة والسعة في الدائرة. الثابت الزمني عادة ما يُرمز له بـ τ (تاو). لذا،

في دارة RC معقدة، سيكون الثابت الزمني هو المقاومة والسعة المكافئتين للدائرة.

لنناقش أهمية الثابت الزمني بمزيد من التفصيل. لفعل ذلك، دعنا نرسم أولاً التيار i(t).

عند t = 0، يكون التيار عبر دائرة المكثف:

عند t = RC، يكون التيار عبر المكثف:

دعونا نعتبر دائرة RC أخرى.

معادلات الدائرة باستخدام KVL لهذه الدوائر هي:

و