Come Trovare la Costante di Tempo nei Circuiti RC e RL
Cosa è la costante di tempo?
La costante di tempo – solitamente indicata con la lettera greca τ (tau) – viene utilizzata in fisica e ingegneria per caratterizzare la risposta a un ingresso a gradino di un primo ordine, sistema lineare invariante nel tempo (LTI) di controllo. La costante di tempo è l'unità caratteristica principale di un sistema LTI del primo ordine.
La costante di tempo viene comunemente utilizzata per caratterizzare la risposta di un circuito RLC.
Per fare ciò, deriviamo la costante di tempo per un circuito RC e la costante di tempo per un circuito RL.
Costante di tempo di un circuito RC
Prendiamo un semplice circuito RC, come mostrato di seguito.
Supponiamo che il condensatore sia inizialmente scarico e che l'interruttore S venga chiuso al tempo t = 0. Dopo la chiusura dell'interruttore, la corrente elettrica i(t) inizia a fluire attraverso il circuito. Applicando la legge della tensione di Kirchhoff in quel circuito a maglia singola, otteniamo,
Derivando entrambi i lati rispetto al tempo t, otteniamo,
Integrando entrambi i lati, otteniamo,
Ora, a t = 0, il condensatore si comporta come un cortocircuito, quindi, subito dopo la chiusura dell'interruttore, la corrente attraverso il circuito sarà,
Ora, sostituendo questo valore nell'equazione (I), otteniamo,
Sostituendo il valore di k nell'equazione (I), otteniamo,
Ora, se sostituiamo t = RC nell'espressione finale della corrente del circuito i(t), otteniamo,
Dall'espressione matematica sopra, è chiaro che RC è il tempo in secondi durante il quale la corrente in un condensatore in carica diminuisce al 36,7 percento del suo valore iniziale. Il valore iniziale significa corrente al momento dell'accensione del condensatore non caricato.
Questo termine è piuttosto significativo nell'analisi del comportamento dei circuiti capacitivi e induttivi. Questo termine è noto come costante di tempo.
Quindi, la costante di tempo è la durata in secondi durante la quale la corrente attraverso un circuito capacitivo diventa il 36,7 percento del suo valore iniziale. Questo è numericamente uguale al prodotto della resistenza e della capacità del circuito. La costante di tempo è normalmente indicata con τ (tau). Quindi,
In un circuito RC complesso, la costante di tempo sarà la resistenza equivalente e la capacità del circuito.
Discutiamo in dettaglio l'importanza della costante di tempo. Per farlo, tracciamo prima la corrente i(t).
A t = 0, la corrente attraverso il circuito del condensatore è
A t = RC, la corrente attraverso il condensatore è
Consideriamo un altro circuito RC.
Le equazioni del circuito utilizzando la legge della tensione di Kirchhoff dei circuiti sopra sono,
