Como atopar a constante de tempo en circuitos RC e RL

Que é a constante de tempo?

A constante de tempo – normalmente denotada pola letra grega τ (tau) – empregase na física e na enxeñaría para caracterizar a resposta a unha entrada de paso dun primeiro orde, sistema de control linear e invariante no tempo (LTI) control system. A constante de tempo é a principal unidade característica dun sistema LTI de primeiro orde.

A constante de tempo empregase comúnmente para caracterizar a resposta dun circuito RLC.

Para facer isto, derivemos a constante de tempo para un circuito RC e a constante de tempo para un circuito RL.

Constante de tempo dun circuito RC

Tomemos un simple circuito RC, como se mostra a continuación.

Supoñamos que o capacitor está inicialmente sen cargar e o interruptor S pechase no instante t = 0. Despois de pechar o interruptor, a corrente eléctrica i(t) comeza a fluir polo circuito. Aplicando a Lei de Tensión de Kirchhoff neste circuitos de malla única, obtemos,

Derivando ambos os lados respecto ao tempo t, obtemos,

Agora, no instante t = 0, o capacitor comportase como un curto circuito, polo que, xusto despois de pechar o interruptor, a corrente polo circuito será,

Agora, substituíndo este valor na ecuación (I), obtemos,

Substituíndo o valor de k na ecuación (I), obtemos,

Agora, se substituímos t = RC na expresión final da corrente do circuito i(t), obtemos,

Desta expresión matemática, é claro que RC é o tempo en segundos durante o cal a corrente nun capacitor a carregar diminúe ao 36,7 por cento do seu valor inicial. O valor inicial significa a corrente no momento de activar o capacitor non cargado.

Este termo é moi significativo na análise do comportamento dos circuitos capacitivos e indutivos. Este termo coñécese como a constante de tempo.

Polo tanto, a constante de tempo é a duración en segundos durante a cal a corrente a través dun circuito capacítivo diminúe ao 36,7 por cento do seu valor inicial. Isto é numericamente igual ao produto da resistencia e a capacitancia do circuito. A constante de tempo normalmente denótase por τ (tau). Así,

Nun circuito RC complexo, a constante de tempo será a resistencia e a capacitancia equivalente do circuito.

Vamos discutir a importancia da constante de tempo con máis detalle. Para facelo, tracemos primeiro a corrente i(t).

No instante t = 0, a corrente a través do circuito do capacitor é

No instante t = RC, a corrente a través do capacitor é

Consideremos outro circuito RC.

As ecuacións do circuito usando a Lei de Tensión de Kirchhoff destes circuitos son,

e