Hvordan finde tidskonstanten i RC- og RL-kredsløb

Hvad er tidskonstanten?

Tidskonstanten – normalt betegnet med det græske bogstav τ (tau) – bruges i fysik og teknik til at karakterisere responsen på en trininput for et førsteordens, lineært tidinvariant (LTI) kontrolsystem. Tidskonstanten er den hovedtrækende enhed for et førsteordens LTI-system.

Tidskonstanten bruges ofte til at karakterisere responsen i et RLC-kredsløb.

For at gøre dette, lad os udlede tidskonstanten for et RC-kredsløb og tidskonstanten for et RL-kredsløb.

Tidskonstanten for et RC-kredsløb

Lad os tage et simpelt RC-kredsløb, som vist nedenfor.

Lad os antage, at kondensatoren er uopladeret i begyndelsen, og skruen S lukkes ved tiden t = 0. Efter at have lukket skruen, starter elektrisk strøm i(t) at flyde gennem kredsløbet. Ved at anvende Kirchhoffs spændningslov i dette enkelt mesh-kredsløb, får vi,

Ved at differentiere begge sider med hensyn til tiden t, får vi,

Nu, ved t = 0, opfører kondensatoren som en kortslutning, så strømmen gennem kredsløbet lige efter at skruen er blevet lukket, vil være,

Nu, ved at indsætte denne værdi i ligning (I), får vi,

Ved at indsætte værdien af k i ligning (I), får vi,

Nu, hvis vi sætter t = RC i den endelige udtryk for kredsløbsstrømmen i(t), får vi,

Ud fra dette matematiske udtryk er det klart, at RC er tiden i sekunder, hvorved strømmen i et opladerende kondensator formindskes til 36,7 procent af sin initiale værdi. Initiale værdi betyder strømmen ved tiden for at slå på den uopladerede kondensator.

Dette udtryk er meget betydningsfuldt i analyse af kapacitive samt induktive kredsløb. Dette udtryk kaldes tidskonstanten.

Så tidskonstanten er varigheden i sekunder, hvorved strømmen gennem et kapacitivt kredsløb bliver 36,7 procent af dens initiale værdi. Dette er numerisk lig produktet af modstand og kapacitansværdierne i kredsløbet. Tids konstanten betegnes normalt med τ (tau). Så,

I et komplekst RC-kredsløb, vil tidskonstanten være den ækvivalente modstand og kapacitans i kredsløbet.

Lad os diskutere betydningen af tidskonstanten i detaljer. For at gøre dette, lad os først plotte strømmen i(t).

Ved t = 0, er strømmen gennem kondensator kredsløbet

Ved t = RC, er strømmen gennem kondensator

Lad os overveje et andet RC-kredsløb.

Kredsløbsligninger ved hjælp af KVL for de ovenstående kredsløb er,