Com es troba la constant de temps en circuits RC i RL

Què és la constant de temps?

La constant de temps – normalment denotada per la lletra grega τ (tau) – s'utilitza en física i enginyeria per caracteritzar la resposta a una entrada d'escala d'un primer ordre, sistema de control lineal invariable en el temps (LTI) de control. La constant de temps és la unitat característica principal d'un sistema LTI de primer ordre.

La constant de temps es utilitza habitualment per caracteritzar la resposta d'un circuit RLC.

Per fer-ho, derivem la constant de temps per a un circuit RC, i la constant de temps per a un circuit RL.

Constant de temps d'un circuit RC

Considerem un simple circuit RC, com es mostra a continuació.

Suposem que el capacitor està inicialment descarregat i l'interruptor S es tanca al temps t = 0. Després de tancar l'interruptor, la corrent elèctrica i(t) comença a fluir pel circuit. Aplicant la Llei de Tensió de Kirchhoff en aquest circuit de malla única, obtenim,

Diferenciant ambdós costats respecte al temps t, obtenim,

Ara, a t = 0, el capacitor comporta com a curto circuit, així que, just després de tancar l'interruptor, la corrent pel circuit serà,

Ara, posant aquest valor a l'equació (I), obtenim,

Posant el valor de k a l'equació (I), obtenim,

Ara, si posem t = RC a l'expressió final de la corrent del circuit i(t), obtenim,

Des de l'expressió matemàtica anterior, és clar que RC és el temps en segons durant el qual la corrent en un capacitor en càrrega disminueix al 36,7% del seu valor inicial. El valor inicial significa la corrent al moment de connectar el capacitor sense carregar.

Aquest terme és bastant significatiu en analitzar el comportament dels circuits capacitius i inductius. Aquest terme es coneix com la constant de temps.

Per tant, la constant de temps és la durada en segons durant la qual la corrent a través d'un circuit capacitius es converteix al 36,7% del seu valor inicial. Això és numèricament igual al producte de la resistència i el valor de capacitance del circuit. La constant de temps normalment es denota per τ (tau). Així doncs,

En un circuit RC complex, la constant de temps serà la resistència i la capacitance equivalents del circuit.

Discutim la importància de la constant de temps amb més detall. Per fer-ho, representem primer la corrent i(t).

A t = 0, la corrent a través del circuit del capacitor és

A t = RC, la corrent a través del capacitor és

Considerem un altre circuit RC.

Les equacions del circuit utilitzant la Llei de Tensió de Kirchhoff dels circuits anteriors són,

i