Was ist eine lange Übertragungsleitung?
Was ist eine lange Übertragungsleitung?
Definition einer langen Übertragungsleitung
Eine lange Übertragungsleitung wird definiert als eine Übertragungsleitung, die länger als 250 km (150 Meilen) ist und für die ein anderer Modellierungsansatz erforderlich ist.
Eine lange Übertragungsleitung wird als Übertragungsleitung mit einer Länge von mehr als 250 km (150 Meilen) definiert. Im Gegensatz zu kurzen und mittleren Übertragungsleitungen benötigen lange Übertragungsleitungen eine detaillierte Modellierung ihrer verteilten Parameter entlang der gesamten Länge. Dies macht die Berechnung der ABCD-Parameter der Übertragungsleitung komplexer, ermöglicht uns aber, die Spannung und den Strom an jedem Punkt der Leitung zu ermitteln.
Bei einer langen Übertragungsleitung sind die Leitungskonstanten gleichmäßig über die gesamte Länge verteilt. Dies liegt daran, dass die effektive Schaltkreislänge viel höher ist als bei den früheren Modellen (lange und mittlere Leitung), so dass wir die folgenden Annäherungen nicht mehr vornehmen können:
Ignorieren der Nebenschlussleitfähigkeit des Netzes, wie im Modell einer kleinen Übertragungsleitung.Betrachten der Schaltkreisimpedanz und -leitfähigkeit als gebündelt und an einem Punkt konzentriert, wie es beim Modell der mittleren Leitung der Fall war.
Stattdessen müssen wir die Schaltkreisimpedanz und -leitfähigkeit als über die gesamte Länge verteilt betrachten. Dies macht die Berechnungen strenger. Für eine genaue Modellierung dieser Parameter verwenden wir das Schaltbild der langen Übertragungsleitung.
Hier wird eine Leitung der Länge l > 250 km mit einer Sendespannung VS und einem Sendestrom IS versorgt, während VR und IR die Werte der Spannung und des Stroms am Empfangsende sind. Betrachten wir nun ein Element der unendlich kleinen Länge Δx in einer Entfernung x vom Empfangsende, wie in der Abbildung gezeigt, wobei:
V = Wert der Spannung kurz vor dem Eintreten in das Element Δx.
I = Wert des Stroms kurz vor dem Eintreten in das Element Δx.
V+ΔV = Spannung, die das Element Δx verlässt.
I+ΔI = Strom, der das Element Δx verlässt.
ΔV = Spannungsabfall über das Element Δx.
zΔx = Serienimpedanz des Elements Δx
yΔx = Nebenschlussleitfähigkeit des Elements Δx
Wobei, Z = z l und Y = y l die Werte der Gesamtimpedanz und -leitfähigkeit der langen Übertragungsleitung sind.
Der Spannungsabfall über das unendlich kleine Element Δx wird daher durch
Um den Strom ΔI zu bestimmen, wenden wir KCL auf Knoten A an.
Da der Term ΔV yΔx das Produkt von zwei unendlich kleinen Werten ist, können wir ihn zur Vereinfachung der Berechnung ignorieren.
Wir können also schreiben
Nun leiten wir beide Seiten der Gleichung (1) nach x ab,
Nun ersetzen wir aus Gleichung (2)
Die Lösung der obigen Differentialgleichung zweiter Ordnung lautet.
Leiten wir Gleichung (4) nach x ab.
Nun vergleichen wir Gleichung (1) mit Gleichung (5)
Um weiterzugehen, definieren wir die charakteristische Impedanz Zc und die Ausbreitungskonstante δ einer langen Übertragungsleitung als
Dann können die Spannungs- und Stromgleichungen in Bezug auf die charakteristische Impedanz und die Ausbreitungskonstante ausgedrückt werden als
Nun bei x=0, V= VR und I= Ir. Wir setzen diese Bedingungen in Gleichung (7) und (8) ein.
Lösen wir Gleichung (9) und (10), erhalten wir die Werte von A1 und A2 als,
Nun wenden wir eine weitere Extrembedingung bei x = l an, wobei V = VS und I = IS.Um VS und IS zu bestimmen, ersetzen wir x durch l und setzen die Werte von A1 und A2 in Gleichung (7) und (8) ein, so erhalten wir
Mit trigonometrischen und exponentiellen Operatoren wissen wir
Daher können Gleichung (11) und (12) neu geschrieben werden als
Im Vergleich mit der allgemeinen Schaltkreisparametergleichung erhalten wir die ABCD-Parameter einer langen Übertragungsleitung als,
