Βασικές Επιχειρήσεις Σημάτων

Ένα σήμα, αποτελείται από ένα σύνολο πληροφοριών που εκφράζονται ως συνάρτηση οποιουδήποτε αριθμού ανεξάρτητων μεταβλητών, που μπορεί να δοθεί ως είσοδος σε ένα σύστημα, ή να παραχθεί ως εξόδος από το σύστημα, για να επιτευχθεί η πραγματική του πρακτική χρησιμότητα. Το σήμα που παράγεται από ένα περίπλοκο σύστημα μπορεί να μην είναι πάντα στη μορφή που θέλουμε,
∴ η γνώση κάποιων βασικών πράξεων σημάτων μπορεί να είναι πραγματικά χρήσιμη για να ενισχύσει την κατανόηση και την εφαρμοσιμότητα των σημάτων.
Η μαθηματική μετατροπή από ένα σήμα σε άλλο μπορεί να εκφραστεί ως

όπου, Y(t) αντιπροσωπεύει το τροποποιημένο σήμα που παράγεται από το αρχικό σήμα X(t), με μόνη μια ανεξάρτητη μεταβλητή t.
Οι βασικές πράξεις σημάτων μπορούν να ταξινομηθούν ευρέως ως εξής.

Βασικές πράξεις σημάτων που εκτελούνται σε εξαρτώμενες μεταβλητές

Σε αυτή τη μετατροπή, τροποποιούνται μόνο τα τιμές του άξονα των ορθών, δηλαδή η μέγεθος του σήματος αλλάζει, χωρίς να επηρεάζονται οι τιμές του οριζόντιου άξονα ή η περιοδικότητα των σημάτων.

1. Κλιμάκωση της επιφάνειας των σημάτων.

2. Πρόσθεση σημάτων.

3. Πολλαπλασιασμός σημάτων.

4. Διαφορικός των σημάτων.

5. Ολοκλήρωση των σημάτων.

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς αυτά τα είδη.

Κλιμάκωση της επιφάνειας των σημάτων

Η κλιμάκωση της επιφάνειας είναι μια πολύ βασική πράξη που εκτελείται σε σήματα για να μεταβάλλει την ισχύ τους. Μαθηματικά μπορεί να εκφραστεί ως Y(t) = α X(t).
Εδώ, α είναι ο παράγοντας κλιμάκωσης, όπου:-
          α<1 → το σήμα επιβραδύνεται.
          α>1 → το σήμα ενισχύεται.

Αυτό είναι απεικονισμένο στο διάγραμμα, όπου το σήμα επιβραδύνεται όταν α = 0.5 στο σχήμα (b) και ενισχύεται όταν α = 1.5 όπως στο σχήμα (c).

Πρόσθεση σημάτων

Αυτή η συγκεκριμένη πράξη περιλαμβάνει την πρόσθεση της επιφάνειας δύο ή περισσότερων σημάτων σε κάθε στιγμή χρόνου ή οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι κοινή μεταξύ των σημάτων. Η πρόσθεση σημάτων είναι απεικονισμένη στο διάγραμμα παρακάτω, όπου X1(t) και X2(t) είναι δύο σήματα που εξαρτώνται από τον χρόνο, εκτελώντας την πράξη πρόσθεσης σε αυτά παίρνουμε,

Πολλαπλασιασμός σημάτων

Όπως και η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός σημάτων εμπίπτει επίσης στην κατηγορία των βασικών πράξεων σημάτων. Εδώ, ο πολλαπλασιασμός της επιφάνειας δύο ή περισσότερων σημάτων σε κάθε στιγμή χρόνου ή οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι κοινή μεταξύ των σημάτων. Το συναπτό σήμα που παίρνουμε έχει τιμές ίσες με το γινόμενο της επιφάνειας των γονικών σημάτων για κάθε στιγμή χρόνου. Ο πολλαπλασιασμός σημάτων είναι απεικονισμένος στο διάγραμμα παρακάτω, όπου X1(t) και X2(t) είναι δύο σήματα που εξαρτώνται από τον χρόνο, μετά την εκτέλεση της πράξης πολλαπλασιασμού παίρνουμε,

Διαφορικός των σημάτων

Για τον διαφορικό των σημάτων, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η πράξη είναι εφαρμόσιμη μόνο για συνεχή σήματα, καθώς μια διακριτή συνάρτηση δεν μπορεί να διαφορικοποιηθεί. Το τροποποιημένο σήμα που παίρνουμε με τη διαφορική έχει τιμές εφαπτομένης του γονικού σήματος σε όλες τις στιγμές χρόνου. Μαθηματικά μπορεί να εκφραστεί ως:-

Ο διαφορικός ενός τυπικού τετραγωνικού και συνημιτόνου κύματος είναι απεικονισμένος στο διάγραμμα παρακάτω.

Ολοκλήρωση σημάτων

Όπως και ο διαφορικός, η ολοκλήρωση σημάτων είναι επίσης εφαρμόσιμη μόνο για συνεχή σήματα χρόνου. Οι ορίοι ολοκλήρωσης θα είναι από – ∞ μέχρι την τρέχουσα στιγμ