کنٹرول سسٹم میں گذراں اور مستحکم حالت کا جواب

نظام کنترل کے عبوری ردعمل

اسم سے ظاہر ہے کہ نظام کنترل کا عبوری ردعمل تبدیلی کا مطلب ہوتا ہے، یہ بنیادی طور پر دو حالتوں کے بعد واقع ہوتا ہے اور یہ دونوں حالتیں درج ذیل لکھی گئی ہیں-

پہلی حالت : نظام کو 'آن' کرنے کے فوراً بعد جس کا مطلب یہ ہے کہ نظام کو ایک ان پٹ سگنل دینے کے وقت۔

دوسرا شرط : کسی غیر معمولی حالت کے فوراً بعد۔ غیر معمولی حالات میں لوڈ میں اچانک تبدیلی، شارٹ سرکٹ وغیرہ شامل ہو سکتے ہیں۔

نظام کنترل کا مستقیم ردعمل

مستقیم حالت کا آغاز ہوتا ہے جب نظام استقرار کر لیتا ہے اور نظام نورمال طور پر کام شروع کرتا ہے۔ نظام کنترل کا مستقیم ردعمل ان پٹ سگنل کا ایک فنکشن ہوتا ہے اور اسے مجبور ردعمل بھی کہا جاتا ہے۔

اب نظام کنترل کا عبوری ردعمل یہ واضح طور پر بتاتا ہے کہ نظام کیسے کام کرتا ہے عبوری حالت کے دوران اور نظام کنترل کا مستقیم ردعمل یہ واضح طور پر بتاتا ہے کہ نظام کیسے کام کرتا ہے مستقیم حالت کے دوران۔

لہذا دونوں حالتوں کا وقت کا تجزیہ بہت ضروری ہے۔ ہم الگ سے دونوں قسم کے ردعلاقوں کا تجزیہ کریں گے۔ پہلے عبوری ردعمل کا تجزیہ کرتے ہیں۔ عبوری ردعمل کا تجزیہ کرنے کے لئے ہمارے پاس کچھ وقت کی مشخصات ہیں اور وہ درج ذیل لکھی گئی ہیں:

ディレイタイム: td سے ظاہر کیا جاتا ہے، یہ میٹرک یہ معلوم کرتا ہے کہ ردعمل کو اپنے آخری قدر کا پچاس فیصد پہنچنے میں کتنا وقت لگتا ہے۔

Rise Time: یہ وقت tr سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اسے rise time فارمولے کے ذریعے کلک کیا جا سکتا ہے۔ ہم دو صورتحالوں میں rise time کی تعریف کرتے ہیں:

زیر دامپ شدہ نظاموں کی صورتحال میں جہاں ζ کی قدر ایک سے کم ہوتی ہے، اس صورتحال میں rise time کی تعریف یہ ہوتی ہے کہ ردعمل کو صفر قدر سے صد فیصد قدر تک پہنچنے میں لگنے والا وقت۔

اوور دامپ شدہ نظاموں کی صورتحال میں جہاں ζ کی قدر ایک سے زیادہ ہوتی ہے، اس صورتحال میں rise time کی تعریف یہ ہوتی ہے کہ ردعمل کو دس فیصد قدر سے نینیت فیصد قدر تک پہنچنے میں لگنے والا وقت۔

Peak Time: یہ وقت tp سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ردعمل کو پہلی بار اپنی پیک قدر تک پہنچنے میں لگنے والا وقت، یہ وقت پیک ٹائم کہلاتا ہے۔ پیک ٹائم وقت کے ردعلاقوں کی مشخصات کی کریو میں واضح طور پر دکھایا گیا ہے۔

Settling Time: یہ وقت ts سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اسے settling time فارمولے کے ذریعے کلک کیا جا سکتا ہے۔ ردعمل کو اپنی آخری قدر کے تقریباً (دو فیصد سے پانچ فیصد) کے محدودہ تک پہنچنے میں لگنے والا وقت، یہ وقت settling time کہلاتا ہے۔ settling time وقت کے ردعلاقوں کی مشخصات کی کریو میں واضح طور پر دکھایا گیا ہے۔

Maximum Overshoot: یہ عام طور پر مطلوبہ قدر کے فیصد میں ظاہر کیا جاتا ہے اور اس کی تعریف یہ ہوتی ہے کہ ردعمل کی اپنی مطلوبہ قدر سے زیادہ سب سے زیادہ مثبت انحراف۔ یہاں مطلوبہ قدر مطلوبہ قدر ہے۔

Steady state error: یہ وقت کے ساتھ لامتناہی تک عملی خروجی اور مطلوبہ خروجی کے درمیان فرق کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے۔ اب ہم پہلی درجے کے نظام کے وقت کے ردعلاقوں کا تجزیہ کرنے کی صورتحال میں ہیں۔

پہلی درجے کے کنٹرول سسٹم کا عبوری ردعمل اور مستقل ردعمل

ہم پہلی درجے کے نظام کا بلاک ڈیاگرام لیتے ہیں۔

اس بلاک ڈیاگرام سے ہم خطی متناسب کل ترانسفر فنکشن مل سکتی ہے۔ پہلی درجے کے نظام کا ترانسفر فنکشن 1/((sT+1)) ہے۔ ہم پہلی درجے کے نظام کے عبوری اور مستقل ردعلاقوں کا تجزیہ درج ذیل معیاری سگنل کے لئے کرنے والے ہیں۔

• یونٹ inpulse۔

• واحد کا مرحلہ۔

• واحد کا ریمپ۔

واحد ضربہ کا جواب : ہمیں واحد ضربہ کا لاپلاس تبدیل 1 ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے درجے کے نظام میں دیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

اب اوپر والے مساوات کا معکوس لاپلاس تبدیل لیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

یہ واضح ہے کہ کنٹرول سسٹم کا مستقیم ریسپانس صرف وقت کی دائم ‘T’ پر منحصر ہے اور یہ طبیعت کے مطابق گرتا ہے۔

واحد مرحلہ کا جواب: واحد مرحلہ ان پٹ کا لاپلاس تبدیل 1/s ہے۔ اسے پہلے درجے کے نظام میں لاگو کرتے ہوئے، ہم اس کے نظام کے طرز عمل پر اثرات کا تجزیہ کرتے ہیں۔

جزیاتی کسر کی مدد سے، اوپر والے مساوات کا معکوس لاپلاس تبدیل لیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

یہ واضح ہے کہ وقت کا جواب صرف وقت کی دائم ‘T’ پر منحصر ہے۔ اس صورتحال میں مستقیم ریسپانس کا غلطی صفر ہوتا ہے t کو صفر کی طرف جانے پر۔

واحد ریمپ کا جواب : ہمیں واحد ضربہ کا لاپلاس تبدیل 1/s² ہے۔

اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے درجے کے نظام میں دیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

جزیاتی کسر کی مدد سے، اوپر والے مساوات کا معکوس لاپلاس تبدیل لیتے ہیں ہمیں ملتا ہے

وقت کی اکسپونینشل فنکشن کو پلاتنگ کرتے ہوئے ہم ‘T’ کو t کو صفر کی طرف جانے پر ملتا ہے۔

دوسرا درجہ کے کنٹرول سسٹم کا عارضی حالت اور مستقیم ریسپانس

ہم دوسرا درجہ کے نظام کا بلاک ڈائیگرام دیکھتے ہیں۔

اس بلاک ڈائیگرام سے ہم کل نقلی فنکشن تلاش کر سکتے ہیں جو غیر خطی ہوتا ہے۔ دوسرا درجہ کے نظام کا نقلی فنکشن (ω²) / {s (s + 2ζω)} ہے۔ ہم اس کے لیے کنٹرول سسٹم کا عارضی حالت کا جواب تجزیہ کرنے جا رہے ہیں۔

واحد ضربہ کا جواب : ہمیں واحد ضربہ کا لاپلاس تبدیل 1 ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو دوسرا درجہ کے نظام میں دیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

جہاں، ω ریڈیئن/سیکنڈ میں قدرتی تعدد ہے اور ζ ڈیمپنگ کا تناسب ہے۔

واحد مرحلہ کا جواب : ہمیں واحد ضربہ کا لاپلاس تبدیل 1/s ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے درجے کے نظام میں دیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

اب ہم مختلف ζ کی قیموں کے اثرات دیکھیں گے۔ ہمیں ζ کی مختلف قیموں کے بنیاد پر تین قسم کے نظام ہیں۔

کم ڈیمپ شدہ نظام: ڈیمپنگ کا تناسب (ζ) ایک سے کم ہونے پر تعریف کیا گیا ہے، یہ نظام مختلط جڑوں کے ساتھ منفی حقیقی حصے کے ساتھ آمانت ہوتا ہے، جس سے ایسیمپٹوٹک استحکام اور کچھ اوورشٹ کے ساتھ کم اٹھنا کا وقت ہوتا ہے۔

kritikal dampti system : ایک سسٹم کو جب زیتا کی قیمت ایک ہوتی ہے تو کریٹیکل ڈامپٹ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورتحال میں ریاضی کی بنیادیں حقیقی ہوتی ہیں اور حقیقی حصے ہمیشہ تکراری طور پر ہوتے ہیں۔ سسٹم مجاناً استحکامی ہوتا ہے۔ اٹھانے کا وقت اس سسٹم میں کم ہوتا ہے اور محدود اوور شوٹ کی موجودگی نہیں ہوتی۔

اوور ڈامپٹ سسٹم : ایک سسٹم کو جب زیتا کی قیمت ایک سے زیادہ ہوتی ہے تو اوور ڈامپٹ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورتحال میں ریاضی کی بنیادیں حقیقی اور الگ ہوتی ہیں اور حقیقی حصے ہمیشہ منفی ہوتے ہیں۔ سسٹم مجاناً استحکامی ہوتا ہے۔ اٹھانے کا وقت دوسرے سسٹم کے مقابلے میں زیادہ ہوتا ہے اور محدود اوور شوٹ کی موجودگی نہیں ہوتی۔

مستقل نوسان : ایک سسٹم کو جب زیتا کی قیمت صفر ہوتی ہے تو مستقل ڈامپٹ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورتحال میں کوئی ڈامپنگ نہیں ہوتی۔

اب ہم دوسرے درجے کے سسٹم کے لئے واحد مرحلہ ورودی کے ساتھ اٹھانے کا وقت، پیک وقت، زیادہ سے زیادہ اوور شوٹ، سیٹلنگ وقت اور مستقل حالت کا غلط فارمولے کو استخراج کرتے ہیں۔

اٹھانے کا وقت : اٹھانے کے وقت کے فارمولے کو استخراج کرنے کے لئے ہم c(t) = 1 کے لئے مساوات کو حل کرنا چاہئے۔ اوپر سے ہمیں یہ ملتا ہے

اوپر والی مساوات کو حل کرنے پر ہمیں اٹھانے کا وقت کے برابر فارمولا ملتا ہے

پیک وقت : c(t) کے فارمولے کو تفریق کرنے سے ہم پیک وقت کا فارمولا حاصل کر سکتے ہیں۔ dc(t)/ dt = 0 ہمیں پیک وقت کا فارمولا ملتا ہے،

زیادہ سے زیادہ اوور شوٹ : اب یہ واضح ہے کہ زیادہ سے زیادہ اوور شوٹ پیک وقت tp پر ہوگا، اس لئے پیک وقت کی قیمت رکھنے سے ہم زیادہ سے زیادہ اوور شوٹ کو حاصل کرتے ہیں

سیٹلنگ وقت : سیٹلنگ وقت کو فارمولا سے دیا جاتا ہے

مستقل حالت کا غلط : مستقل حالت کا غلط فعلی آؤٹ پٹ اور مطلوبہ آؤٹ پٹ کے درمیان فرق ہے، اس لئے وقت کے لامتناہی ہونے پر مستقل حالت کا غلط صفر ہوتا ہے۔