Phản ứng Tạm thời và Steady State trong Hệ thống Điều khiển

Phản ứng Tạm thời của Hệ thống Điều khiển

Như tên gọi, phản ứng tạm thời của hệ thống điều khiển nghĩa là sự thay đổi, điều này xảy ra chủ yếu sau hai điều kiện và hai điều kiện này được viết như sau-

Điều kiện một : Ngay sau khi bật hệ thống, tức là vào thời điểm áp dụng tín hiệu đầu vào cho hệ thống.

Điều kiện thứ hai : Ngay sau bất kỳ điều kiện bất thường nào. Điều kiện bất thường có thể bao gồm sự thay đổi đột ngột trong tải, chập mạch, v.v.

Phản ứng Trạng thái Steady của Hệ thống Điều khiển

Trạng thái ổn định xảy ra sau khi hệ thống trở nên ổn định và bắt đầu hoạt động bình thường. Phản ứng trạng thái ổn định của hệ thống điều khiển là hàm của tín hiệu đầu vào và nó cũng được gọi là phản ứng ép buộc.

Bây giờ, phản ứng trạng thái tạm thời của hệ thống điều khiển cung cấp mô tả rõ ràng về cách hệ thống hoạt động trong trạng thái tạm thời và phản ứng trạng thái ổn định của hệ thống điều khiển cung cấp mô tả rõ ràng về cách hệ thống hoạt động trong trạng thái ổn định. 

Do đó, phân tích thời gian của cả hai trạng thái rất quan trọng. Chúng ta sẽ phân tích riêng biệt cả hai loại phản ứng. Hãy bắt đầu bằng việc phân tích phản ứng tạm thời. Để phân tích phản ứng tạm thời, chúng ta có một số thông số thời gian và chúng được viết như sau:

Thời gian Trễ: Được biểu diễn bằng td, chỉ số này đo lường thời gian cần thiết để phản ứng đạt đến năm mươi phần trăm giá trị cuối cùng của nó lần đầu tiên.

Thời gian Tăng: Thời gian này được biểu diễn bằng tr, và có thể được tính bằng công thức thời gian tăng. Chúng ta định nghĩa thời gian tăng trong hai trường hợp:

Trong trường hợp hệ thống dưới giảm xóc, nơi giá trị của ζ nhỏ hơn một, trong trường hợp này, thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần thiết để phản ứng đi từ giá trị không đến giá trị cuối cùng là một trăm phần trăm.

Trong trường hợp hệ thống quá giảm xóc, nơi giá trị của ζ lớn hơn một, trong trường hợp này, thời gian tăng được định nghĩa là thời gian cần thiết để phản ứng đi từ mười phần trăm giá trị đến chín mươi phần trăm giá trị cuối cùng.

Thời gian Đỉnh: Thời gian này được biểu diễn bằng tp. Thời gian cần thiết để phản ứng đạt đến giá trị đỉnh lần đầu tiên, thời gian này được gọi là thời gian đỉnh. Thời gian đỉnh được hiển thị rõ ràng trong đường cong đặc trưng phản ứng theo thời gian.

Thời gian Bình ổn: Thời gian này được biểu diễn bằng ts, và có thể được tính bằng công thức thời gian bình ổn. Thời gian cần thiết để phản ứng đạt và nằm trong phạm vi khoảng (hai phần trăm đến năm phần trăm) giá trị cuối cùng của nó lần đầu tiên, thời gian này được gọi là thời gian bình ổn. Thời gian bình ổn được hiển thị rõ ràng trong đường cong đặc trưng phản ứng theo thời gian.

Sai số Tối đa: Nó được biểu diễn (một cách chung chung) bằng phần trăm giá trị ổn định và được định nghĩa là sai lệch dương tối đa của phản ứng so với giá trị mong muốn. Ở đây, giá trị mong muốn là giá trị ổn định.

Sai số Trạng thái ổn định: Được định nghĩa là sự khác biệt giữa đầu ra thực tế và đầu ra mong muốn khi thời gian tiệm cận vô cùng. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để tiến hành phân tích phản ứng theo thời gian của hệ thống bậc nhất.

Phản ứng Tạm thời và Trạng thái Ổn định của Hệ thống Điều khiển Bậc Nhất

Hãy xem xét sơ đồ khối của hệ thống bậc nhất.

Từ sơ đồ khối này, chúng ta có thể tìm hàm truyền tổng thể, vốn có tính chất tuyến tính. Hàm truyền của hệ thống bậc nhất là 1/((sT+1)). Chúng ta sẽ phân tích phản ứng trạng thái ổn định và tạm thời của hệ thống điều khiển cho các tín hiệu chuẩn sau.

• Xung đơn vị.

• Bước đơn vị.

• Ramp đơn vị.

Phản ứng Xung đơn vị : Chúng ta có biến đổi Laplace của xung đơn vị là 1. Giờ hãy cho tín hiệu chuẩn này vào hệ thống bậc nhất, chúng ta có

Bây giờ, lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, chúng ta có

Rõ ràng rằng phản ứng trạng thái ổn định của hệ thống điều khiển chỉ phụ thuộc vào hằng số thời gian 'T' và nó có tính chất suy giảm.

Phản ứng Bước đơn vị: Biến đổi Laplace cho tín hiệu bước đơn vị là 1/s. Áp dụng điều này vào hệ thống bậc nhất, chúng ta phân tích tác động của nó lên hành vi của hệ thống.

Với sự giúp đỡ của phân số riêng, lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, chúng ta có

Rõ ràng rằng phản ứng theo thời gian chỉ phụ thuộc vào hằng số thời gian 'T'. Trong trường hợp này, sai số trạng thái ổn định là không khi đặt giới hạn t tiệm cận không.

Phản ứng Ramp đơn vị : Chúng ta có biến đổi Laplace của xung đơn vị là 1/s 2.

Bây giờ, hãy cho tín hiệu chuẩn này vào hệ thống bậc nhất, chúng ta có

Với sự giúp đỡ của phân số riêng, lấy biến đổi Laplace ngược của phương trình trên, chúng ta có

Khi vẽ hàm mũ theo thời gian, chúng ta có 'T' khi đặt giới hạn t tiệm cận không.

Phản ứng Tạm thời và Trạng thái Ổn định của Hệ thống Điều khiển Bậc Hai

Hãy xem xét sơ đồ khối của hệ thống bậc hai.

Từ sơ đồ khối này, chúng ta có thể tìm hàm truyền tổng thể, vốn có tính chất phi tuyến. Hàm truyền của hệ thống bậc hai là (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Chúng ta sẽ phân tích phản ứng trạng thái tạm thời của hệ thống điều khiển cho các tín hiệu chuẩn sau.

Phản ứng Xung đơn vị : Chúng ta có biến đổi Laplace của xung đơn vị là 1. Bây giờ, hãy cho tín hiệu chuẩn này vào hệ thống bậc hai, chúng ta có

Trong đó, ω là tần số tự nhiên (rad/sec) và ζ là tỷ lệ giảm xóc.

Phản ứng Bước đơn vị : Chúng ta có biến đổi Laplace của xung đơn vị là 1/s. Bây giờ, hãy cho tín hiệu chuẩn này vào hệ thống bậc nhất, chúng ta có

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét tác động của các giá trị khác nhau của ζ đối với phản ứng. Chúng ta có ba loại hệ thống dựa trên các giá trị khác nhau của ζ.

Hệ thống Dưới giảm xóc: Được định nghĩa bởi tỷ lệ giảm xóc (ζ) nhỏ hơn một, hệ thống này có nghiệm phức với phần thực âm, đảm bảo ổn định tiệm cận và thời gian tăng ngắn với một số sai số vượt quá.

Hệ thống Giảm xóc tới hạn : Một hệ thống được coi là giảm xóc tới hạn khi giá trị của ζ là một. Trong trường hợp này, nghiệm là thực và luôn lặp lại. Hệ thống ổn định tiệm cận. Thời gian tăng ngắn trong hệ thống này và không có sự hiện diện của sai số vượt quá hữu hạn.

Hệ thống Quá giảm xóc : Một hệ thống được coi là quá giảm xóc khi giá trị của ζ lớn hơn một. Trong trường hợp này, nghiệm là thực và riêng biệt, và phần thực luôn âm. Hệ thống ổn định tiệm cận. Thời gian tăng lớn hơn so với các hệ thống khác và không có sự hiện diện của sai số vượt quá hữu hạn.

Oscillations Bền vững : Một hệ thống được coi là giảm xóc bền vững khi giá trị của zeta là không. Không có giảm xóc xảy ra trong trường hợp này.

Bây giờ, hãy dẫn xuất các biểu thức cho thời gian tăng, thời gian đỉnh, sai số vượt quá tối đa, thời gian bình ổn và sai số trạng thái ổn định với tín hiệu bước đơn vị cho hệ thống bậc hai.

Thời gian Tăng : Để dẫn xuất biểu thức cho thời gian tăng, chúng ta phải đặt biểu thức cho c(t) = 1. Từ trên, chúng ta có

Khi giải phương trình trên, chúng ta có biểu thức cho thời gian tăng bằng

Thời gian Đỉnh : Bằng cách lấy đạo hàm của biểu thức c(t), chúng ta có thể dẫn xuất biểu thức cho thời gian đỉnh. dc(t)/ dt = 0, chúng ta có biểu thức cho thời gian đỉnh,

Sai số Vượt quá Tối đa : Rõ ràng từ hình vẽ, sai số vượt quá tối đa sẽ xảy ra tại thời gian đỉnh tp, do đó, khi đặt giá trị của thời gian đỉnh, chúng ta sẽ có sai số vượt quá tối đa là

Thời gian Bình ổn : Thời gian bình ổn được đưa ra bởi biểu thức

Sai số Trạng thái ổn định : Sai số trạng thái ổn định là sự khác biệt giữa đầu ra thực tế và đầu ra mong muốn, do đó, khi thời gian tiệm cận vô cùng, sai số trạng thái ổn định là không.