Переходный и установившийся режимы в системе управления

Переходный процесс системы управления

Как следует из названия, переходный процесс системы управления означает изменение, которое происходит в основном после двух условий, и эти два условия записаны следующим образом:

Условие первое : Сразу после включения системы, то есть в момент подачи входного сигнала на систему.

Условие второе : Сразу после любых аномальных условий. Аномальные условия могут включать внезапное изменение нагрузки, короткое замыкание и т.д.

Установившийся режим системы управления

Установившийся режим наступает после того, как система стабилизируется, и начинает работать нормально. Установившаяся реакция системы управления является функцией входного сигнала и также называется вынужденной реакцией.

Теперь переходный процесс системы управления дает четкое описание того, как система работает в переходном состоянии, а установившийся режим системы управления дает четкое описание того, как система работает в установившемся состоянии.

Поэтому анализ времени обоих состояний очень важен. Мы отдельно проанализируем оба типа реакций. Давайте сначала проанализируем переходный процесс. Для анализа переходного процесса у нас есть некоторые временные характеристики, и они записаны следующим образом:

Время задержки: Обозначается td, эта метрика измеряет, сколько времени требуется реакции, чтобы достичь пятидесяти процентов своего конечного значения в первый раз.

Время нарастания: Это время обозначается tr и может быть рассчитано с использованием формулы времени нарастания. Мы определяем время нарастания в двух случаях:

В случае недостаточно затухающих систем, где значение ζ меньше одного, в этом случае время нарастания определяется как время, необходимое для реакции, чтобы достичь от нулевого значения до ста процентов конечного значения.

В случае перезатухающих систем, где значение ζ больше одного, в этом случае время нарастания определяется как время, необходимое для реакции, чтобы достичь от десяти процентов до девяноста процентов конечного значения.

Время достижения пика: Это время обозначается tp. Время, необходимое для реакции, чтобы достичь пикового значения в первый раз, это время называется временем достижения пика. Время достижения пика четко показано на кривой временных характеристик.

Время установления: Это время обозначается ts и может быть рассчитано с использованием формулы времени установления. Время, необходимое для реакции, чтобы достичь и находиться в пределах указанного диапазона (от двух до пяти процентов) от своего конечного значения в первый раз, это время называется временем установления. Время установления четко показано на кривой временных характеристик.

Максимальный перерегулирование: Обычно выражается в процентах от установившегося значения и определяется как максимальное положительное отклонение реакции от желаемого значения. Здесь желаемое значение — это установившееся значение.

Постоянная ошибка по установившемуся значению: Определяется как разница между фактическим выходом и желаемым выходом при стремлении времени к бесконечности. Теперь мы можем провести анализ временной характеристики системы первого порядка.

Переходный и установившийся режимы системы управления первого порядка

Рассмотрим блок-схему системы первого порядка.

Из этой блок-схемы мы можем найти общую передаточную функцию, которая является линейной. Передаточная функция системы первого порядка равна 1/((sT+1)). Мы будем анализировать установившийся и переходный режимы системы управления для следующих стандартных сигналов.

• Единичный импульс.

• Единичный скачок.

• Единичный наклон.

Ответ на единичный импульс : У нас есть преобразование Лапласа единичного импульса, равное 1. Теперь давайте подадим этот стандартный вход на систему первого порядка, получим

Теперь, взяв обратное преобразование Лапласа от вышеуказанного уравнения, получим

Ясно, что установившийся режим системы управления зависит только от постоянной времени 'T' и имеет затухающий характер.

Ответ на единичный скачок: Преобразование Лапласа для единичного скачка равно 1/s. Применив это к системе первого порядка, мы анализируем его влияние на поведение системы.

С помощью частичных дробей, взяв обратное преобразование Лапласа от вышеуказанного уравнения, получим

Ясно, что временная характеристика зависит только от постоянной времени 'T'. В этом случае постоянная ошибка по установившемуся значению равна нулю при стремлении t к нулю.

Ответ на единичный наклон : У нас есть преобразование Лапласа единичного импульса, равное 1/s².

Теперь давайте подадим этот стандартный вход на систему первого порядка, получим

С помощью частичных дробей, взяв обратное преобразование Лапласа от вышеуказанного уравнения, получим

При построении экспоненциальной функции времени имеем 'T' при стремлении t к нулю.

Переходный и установившийся режимы системы управления второго порядка

Рассмотрим блок-схему системы второго порядка.

Из этой блок-схемы мы можем найти общую передаточную функцию, которая является нелинейной. Передаточная функция системы второго порядка равна (ω²) / {s (s + 2ζω)}. Мы будем анализировать переходный режим системы управления для следующих стандартных сигналов.

Ответ на единичный импульс : У нас есть преобразование Лапласа единичного импульса, равное 1. Теперь давайте подадим этот стандартный вход на систему второго порядка, получим

Где, ω — собственная частота в рад/сек, а ζ — коэффициент затухания.

Ответ на единичный скачок : У нас есть преобразование Лапласа единичного импульса, равное 1/s. Теперь давайте подадим этот стандартный вход на систему первого порядка, получим

Теперь мы увидим влияние различных значений ζ на реакцию. У нас есть три типа систем на основе различных значений ζ.

Недостаточно затухающая система: Определена коэффициентом затухания (ζ), меньшим одного, эта система имеет комплексные корни с отрицательными вещественными частями, обеспечивая асимптотическую устойчивость и более короткое время нарастания с некоторым перерегулированием.

Критически затухающая система : Система называется критически затухающей, когда значение ζ равно одному. В этом случае корни являются вещественными, и их вещественные части всегда повторяются. Система асимптотически устойчива. Время нарастания меньше в этой системе, и нет конечного перерегулирования.

Перезатухающая система : Система называется перезатухающей, когда значение ζ больше одного. В этом случае корни являются вещественными и различными, и их вещественные части всегда отрицательны. Система асимптотически устойчива. Время нарастания больше, чем в других системах, и нет конечного перерегулирования.

Поддерживаемые колебания : Система называется поддерживающей колебания, когда значение ζ равно нулю. В этом случае затухание отсутствует.

Теперь давайте выведем выражения для времени нарастания, времени достижения пика, максимального перерегулирования, времени установления и постоянной ошибки по установившемуся значению для системы второго порядка с единичным скачком.

Время нарастания : Для вывода выражения для времени нарастания нам нужно приравнять выражение для c(t) = 1. Из вышеуказанного имеем

Решив вышеуказанное уравнение, получим выражение для времени нарастания, равное

Время достижения пика : Дифференцируя выражение для c(t), можно получить выражение для времени достижения пика. dc(t)/ dt = 0, получим выражение для времени достижения пика,

Максимальное перерегулирование : Теперь ясно из рисунка, что максимальное перерегулирование произойдет в момент времени достижения пика tp, поэтому, подставив значение времени достижения пика, получим максимальное перерегулирование, равное

Время установления : Время установления задается выражением

Постоянная ошибка по установившемуся значению : Постоянная ошибка по установившемуся значению — это разница между фактическим выходом и желаемым выходом, поэтому при стремлении времени к бесконечности постоянная ошибка по установившемуся значению равна нулю.