Αναπτύξεις και Σταθερό Κατάστημα Απόκριση σε ένα Σύστημα Ελέγχου

Μεταβατική Απάντηση του Συστήματος Ελέγχου

Όπως υποδηλώνει ο όρος, η μεταβατική απάντηση του συστήματος ελέγχου είναι η αλλαγή, η οποία συμβαίνει κυρίως μετά από δύο συνθήκες, οι οποίες είναι οι εξής:

Πρώτη συνθήκη : Αμέσως μετά την ενεργοποίηση του συστήματος, δηλαδή στη στιγμή που εφαρμόζεται ένα σήμα εισόδου στο σύστημα.

Δεύτερη συνθήκη : Αμέσως μετά από κάποιες ανωμαλίες. Οι ανωμαλίες μπορεί να περιλαμβάνουν ξαφνική αλλαγή του φορτίου, σύνδεση σε κύκλωμα κλπ.

Σταθερή Κατάσταση Απάντησης του Συστήματος Ελέγχου

Η σταθερή κατάσταση συμβαίνει μετά τον επιστροφή του συστήματος σε σταθερή λειτουργία. Η σταθερή κατάσταση απάντησης του συστήματος ελέγχου είναι μια συνάρτηση του σήματος εισόδου και επίσης ονομάζεται αναγκαστική απάντηση.

Τώρα, η μεταβατική απάντηση του συστήματος ελέγχου δίνει μια σαφή περιγραφή του πώς λειτουργεί το σύστημα κατά την μεταβατική κατάσταση, ενώ η σταθερή κατάσταση απάντησης του συστήματος ελέγχου δίνει μια σαφή περιγραφή του πώς λειτουργεί το σύστημα κατά την σταθερή κατάσταση. 

Επομένως, η χρονική ανάλυση και των δύο καταστάσεων είναι πολύ σημαντική. Θα αναλύσουμε ξεχωριστά και τις δύο τύπους απαντήσεων. Ας αναλύσουμε πρώτα τη μεταβατική απάντηση. Για να αναλύσουμε τη μεταβατική απάντηση, έχουμε κάποιες χρονικές προδιαγραφές, οι οποίες είναι οι εξής:

Χρόνος Καθυστέρησης: Ορίζεται από το td, αυτός ο δείκτης μετράει πόσος χρόνος χρειάζεται για την απάντηση να φτάσει στο 50% της τελικής τιμής της για πρώτη φορά.

Χρόνος Άνοδου: Αυτός ο χρόνος ορίζεται από το tr, και μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση της τύπου χρόνου άνοδου. Ορίζουμε τον χρόνο άνοδου σε δύο περιπτώσεις:

Στην περίπτωση υποσυστημάτων υποσυντονισμένων (under damped) όπου η τιμή του ζ είναι λιγότερη από ένα, σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος άνοδου ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για την απάντηση να φτάσει από την τιμή μηδέν στο 100% της τελικής τιμής.

Στην περίπτωση υπερσυντονισμένων (over damped) συστημάτων όπου η τιμή του ζ είναι μεγαλύτερη από ένα, σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος άνοδου ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται για την απάντηση να φτάσει από το 10% στο 90% της τελικής τιμής.

Χρόνος Πρώτης Κορυφής: Αυτός ο χρόνος ορίζεται από το tp. Ο χρόνος που απαιτείται για την απάντηση να φτάσει στην πρώτη κορυφή, αυτός ο χρόνος είναι γνωστός ως χρόνος πρώτης κορυφής. Ο χρόνος πρώτης κορυφής εμφανίζεται σαφώς στην καμπύλη χρονικής ανάλυσης.

Χρόνος Σταθεροποίησης: Αυτός ο χρόνος ορίζεται από το ts, και μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση της τύπου χρόνου σταθεροποίησης. Ο χρόνος που απαιτείται για την απάντηση να φτάσει και να μείνει εντός του προσδιορισμένου εύρους (2% έως 5%) της τελικής τιμής για πρώτη φορά, αυτός ο χρόνος είναι γνωστός ως χρόνος σταθεροποίησης. Ο χρόνος σταθεροποίησης εμφανίζεται σαφώς στην καμπύλη χρονικής ανάλυσης.

Μέγιστη Υπερβολή: Εκφράζεται (σε γενικές γραμμές) σε ποσοστό της σταθερής κατάστασης και ορίζεται ως η μέγιστη θετική απόκλιση της απάντησης από την επιθυμητή τιμή. Η επιθυμητή τιμή είναι η τιμή της σταθερής κατάστασης.

Σφάλμα Σταθερής Κατάστασης: Ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της πραγματικής εξόδου και της επιθυμητής εξόδου όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Τώρα είμαστε σε θέση να κάνουμε μια χρονική ανάλυση απόκρισης ενός πρώτου βαθμού συστήματος.

Μεταβατική και Σταθερή Κατάσταση Απάντησης Συστήματος Ελέγχου Πρώτου Βαθμού

Θεωρούμε το σχήμα του πρώτου βαθμού συστήματος.

Από αυτό το σχήμα μπορούμε να βρούμε την ολική μεταβιβαστική συνάρτηση, η οποία είναι γραμμική. Η μεταβιβαστική συνάρτηση του πρώτου βαθμού συστήματος είναι 1/((sT+1)). Θα αναλύσουμε τη σταθερή και μεταβατική απάντηση του συστήματος ελέγχου για τα εξής πρότυπα σήματα.

• Μοναδιαία παλμική.

• Μοναδιαία βήμα.

• Μοναδιαία σκάλα.

Απάντηση σε μοναδιαίο παλμικό: Έχουμε τον μετασχηματισμό Laplace του μοναδιαίου παλμικού 1. Τώρα ας δώσουμε αυτό το πρότυπο είσοδο σε ένα πρώτου βαθμού σύστημα, έχουμε

Τώρα, παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε

Είναι σαφές ότι η σταθερή κατάσταση απάντησης του συστήματος ελέγχου εξαρτάται μόνο από τη σταθερά χρόνου 'T' και είναι σε φύση κατάρρευσης.

Απάντηση σε μοναδιαίο βήμα: Ο μετασχηματισμός Laplace για το μοναδιαίο βήμα είναι 1/s. Εφαρμόζοντας αυτό σε ένα πρώτου βαθμού σύστημα, αναλύουμε τις επιπτώσεις του στη συμπεριφορά του συστήματος.

Με τη βοήθεια της μερικής κλάσης, παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε

Είναι σαφές ότι η χρονική απάντηση εξαρτάται μόνο από τη σταθερά χρόνου 'T'. Σε αυτή την περίπτωση, το σφάλμα σταθερής κατάστασης είναι μηδέν, τοποθετώντας το όριο t να τείνει στο μηδέν.

Απάντηση σε μοναδιαία σκάλα: Έχουμε τον μετασχηματισμό Laplace του μοναδιαίου παλμικού 1/s 2.

Τώρα ας δώσουμε αυτό το πρότυπο είσοδο σε ένα πρώτου βαθμού σύστημα, έχουμε

Με τη βοήθεια της μερικής κλάσης, παίρνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω εξίσωσης, έχουμε

Στον πλοταρισμό της εκθετικής συνάρτησης του χρόνου, έχουμε 'T' τοποθετώντας το όριο t να τείνει στο μηδέν.

Μεταβατική και Σταθερή Κατάσταση Απάντησης Συστήματος Ελέγχου Δευτέρου Βαθμού

Θεωρούμε το σχήμα του δευτέρου βαθμού συστήματος.

Από αυτό το σχήμα μπορούμε να βρούμε την ολική μεταβιβαστική συνάρτηση, η οποία είναι μη γραμμική. Η μεταβιβαστική συνάρτηση του δευτέρου βαθμού συστήματος είναι (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Θα αναλύσουμε τη μεταβατική απάντηση του συστήματος ελέγχου για τα εξής πρότυπα σήματα.

Απάντηση σε μοναδιαίο παλμικό: Έχουμε τον μετασχηματισμό Laplace του μοναδιαίου παλμικού 1. Τώρα ας δώσουμε αυτό το πρότυπο είσοδο σε δεύτερου βαθμού σύστημα, έχουμε

Όπου, ω είναι η φυσική συχνότητα σε rad/sec και ζ είναι το πηνίο συντονισμού.

Απάντηση σε μοναδιαίο βήμα: Έχουμε τον μετασχηματισμό Laplace του μοναδιαίου παλμικού 1/s. Τώρα ας δώσουμε αυτό το πρότυπο είσοδο σε πρώτου βαθμού σύστημα, έχουμε