制御システムにおける過渡応答と定常応答

制御システムの過渡応答

名前の通り、制御システムの過渡応答とは変化することを意味し、これは主に以下の2つの条件で発生します。

条件1 : システムがオンになった直後、つまり入力信号がシステムに適用された時です。

条件2 : 異常な状況の直後です。異常な状況には負荷の急激な変化やショートサーキットなどが含まれます。

制御システムの定常応答

定常状態は、システムが安定した後、通常の動作を開始する時に発生します。制御システムの定常応答は入力信号の関数であり、強制応答とも呼ばれます。

現在、制御システムの過渡応答はシステムが過渡状態でどのように機能するかを明確に説明し、制御システムの定常応答はシステムが定常状態でどのように機能するかを明確に説明します。

したがって、両方の状態の時間解析は非常に重要です。私たちはそれぞれの応答を個別に解析します。まず、過渡応答を解析しましょう。過渡応答を解析するために、いくつかの時間仕様があり、以下のように記述されます。

遅延時間: tdで表され、この指標は応答が最終値の50%に初めて達するまでの時間を測定します。

上昇時間: trで表され、上昇時間の公式を使用して計算できます。上昇時間は以下の2つのケースで定義されます。

減衰度ζが1未満の過減衰システムの場合、上昇時間は応答がゼロから最終値の100%に達するまでの時間として定義されます。

減衰度ζが1を超える過減衰システムの場合、上昇時間は応答が最終値の10%から90%に達するまでの時間として定義されます。

ピーク時間: tpで表されます。応答が初めてピーク値に達するまでの時間であり、ピーク時間は時間応答仕様曲線に明確に示されます。

収束時間: tsで表され、収束時間の公式を使用して計算できます。応答が最終値の約2%〜5%以内に初めて達するまでの時間であり、収束時間は時間応答仕様曲線に明確に示されます。

最大オーバーシュート: 通常、定常値のパーセンテージで表現され、応答が目的値（定常値）からの最大正偏差として定義されます。

定常状態誤差: 実際の出力と希望の出力との差を無限大の時間で定義します。今、私たちは1次のシステムの時間応答解析を行う準備ができています。

1次の制御システムの過渡状態と定常状態応答

1次のシステムのブロック図を考えましょう。

このブロック図から、全体的な伝達関数を見つけることができます。1次のシステムの伝達関数は1/((sT+1))です。以下の標準信号に対する制御システムの定常応答と過渡応答を解析します。

• 単位インパルス。

• 単位ステップ。

• 単位ランプ。

単位インパルス応答 : 単位インパルスのラプラス変換は1です。この標準入力を1次のシステムに入力すると、以下のようになります。

上記の方程式の逆ラプラス変換を取ると、以下のようになります。

制御システムの定常応答は時間定数‘T’のみに依存し、減衰性質を持っています。

単位ステップ応答: 単位ステップ入力のラプラス変換は1/sです。これを1次のシステムに入力し、システムの挙動への影響を解析します。

部分分数を用いて上記の方程式の逆ラプラス変換を取ると、以下のようになります。

時間応答は時間定数‘T’のみに依存します。この場合、tがゼロに近づくときの定常状態誤差はゼロです。

単位ランプ応答 : 単位インパルスのラプラス変換は1/s^2です。

この標準入力を1次のシステムに入力すると、以下のようになります。

部分分数を用いて上記の方程式の逆ラプラス変換を取ると、以下のようになります。

時間の指数関数をプロットすると、tがゼロに近づくときの‘T’を得ることができます。

2次の制御システムの過渡状態と定常状態応答

2次のシステムのブロック図を考えましょう。

このブロック図から、全体的な伝達関数を見つけることができます。2次のシステムの伝達関数は(ω^2) / {s (s + 2ζω)}です。以下の標準信号に対する制御システムの過渡応答を解析します。

単位インパルス応答 : 単位インパルスのラプラス変換は1です。この標準入力を2次のシステムに入力すると、以下のようになります。

ここで、ωはrad/secでの自然振動数、ζは減衰比です。

単位ステップ応答 : 単位インパルスのラプラス変換は1/sです。この標準入力を1次のシステムに入力すると、以下のようになります。

異なるζの値が応答に与える影響を見てみましょう。ζの異なる値に基づいて3種類のシステムがあります。

過減衰システム: 減衰比（ζ）が1未満で定義されるこのシステムでは、複素根を持つため漸近安定性を持ち、短い上昇時間と一部のオーバーシュートが特徴です。

臨界減衰システム : ζの値が1であるときに、システムは臨界減衰システムと呼ばれます。この場合、根は実数であり、常に反復的です。システムは漸近安定性を持ち、上昇時間は短く、有限のオーバーシュートはありません。

過減衰システム : ζの値が1を超えるときに、システムは過減衰システムと呼ばれます。この場合、根は実数かつ異なるものであり、実部は常に負です。システムは漸近安定性を持ち、他のシステムよりも上昇時間が長く、有限のオーバーシュートはありません。

持続振動 : ζの値が0であるときに、システムは持続振動システムと呼ばれます。この場合、減衰は発生しません。

次に、2次のシステムの単位ステップ入力に対する上昇時間、ピーク時間、最大オーバーシュート、収束時間、定常状態誤差の式を導出します。

上昇時間 : 上昇時間の式を導出するには、c(t) = 1となるように式を等価に設定します。上記から以下のようになります。

上記の方程式を解くと、上昇時間の式が得られます。

ピーク時間 : c(t)の式を微分することでピーク時間の式を得ることができます。dc(t)/ dt = 0となるとき、ピーク時間の式が得られます。

最大オーバーシュート : 図から明らかですが、最大オーバーシュートはピーク時間tpで発生します。ピーク時間の値を代入すると、最大オーバーシュートが得られます。

収束時間 : 収束時間は以下の式で与えられます。

定常状態誤差 : 定常状態誤差は実際の出力と希望の出力の差であり、時間tが無限大に近づくときの定常状態誤差はゼロです。