Resposta Transitoria e Estacionaria nun Sistema de Control

Resposta Transitoria do Sistema de Control

Como o nome indica, a resposta transitoria do sistema de control significa mudança, polo que isto ocorre principalmente após dúas condicións e estas dúas condicións están escritas como segue:

Condición unha : Xusto despois de activar o sistema, iso é, no momento da aplicación dunha sinal de entrada ao sistema.

Condición segunda : Xusto despois de calquera condición anormal. As condicións anormais poden incluír un cambio repentino na carga, curto circuito, etc.

Resposta Estacionaria do Sistema de Control

A estación ocorre despois de que o sistema se asenta e o sistema comeza a funcionar normalmente. A resposta estacionaria do sistema de control é unha función da sinal de entrada e tamén se chama resposta forzada.

Agora, a resposta transitoria do sistema de control ofrece unha descripción clara de como funciona o sistema durante o estado transitorio e a resposta estacionaria do sistema de control ofrece unha descripción clara de como funciona o sistema durante o estado estacionario. 

Por tanto, a análise temporal de ambos os estados é moi esencial. Analizaremos separadamente ambos os tipos de respostas. Vamos analizar primeiro a resposta transitoria. Para analizar a resposta transitoria, temos algunhas especificacións temporais e están escritas como segue:

Tempo de Retardo: Representado por td, esta métrica mide o tempo que leva a resposta para alcanzar cincuenta por cento do seu valor final pela primeira vez.

Tempo de Subida: Este tempo está representado por tr, e pode ser calculado usando a fórmula de tempo de subida. Definimos o tempo de subida en dous casos:

No caso de sistemas subamortiguados onde o valor de ζ é menor que un, neste caso o tempo de subida está definido como o tempo necesario para a resposta ir desde o valor cero ata o valor cien por cento do valor final.

No caso de sistemas sobreamortiguados onde o valor de ζ é maior que un, neste caso o tempo de subida está definido como o tempo necessário para a resposta ir desde o valor dez por cento ata o valor noventa por cento do valor final.

Tempo de Pico: Este tempo está representado por tp. O tempo necesario para que a resposta alcance o valor pico pela primeira vez, este tempo é coñecido como tempo de pico. O tempo de pico está claramente mostrado na curva de especificacións de resposta temporal.

Tempo de Estabilización: Este tempo está representado por ts, e pode ser calculado usando a fórmula de tempo de estabilización. O tempo necesario para que a resposta alcance e dentro do rango especificado de aproximadamente (dois por cento a cinco por cento) do seu valor final pela primeira vez, este tempo é coñecido como tempo de estabilización. O tempo de estabilización está claramente mostrado na curva de especificacións de resposta temporal.

Sobrepico Máximo: Exprésase (en xeral) en porcentaxe do valor estacionario e está definido como a máxima desviación positiva da resposta do seu valor deseado. Aquí o valor deseado é o valor estacionario.

Erro estacionario: Defínese como a diferenza entre a saída real e a saída deseada a medida que o tempo tende a infinito. Agora estamos en posición de facer unha análise de resposta temporal dun sistema de primeira orde.

Resposta Transitoria e Estacionaria do Sistema de Control de Primeira Orde

Consideremos o diagrama de bloques do sistema de primeira orde.

Deste diagrama de bloques podemos atopar a función de transferencia global que é linear. A función de transferencia do sistema de primeira orde é 1/((sT+1)). Vamos analizar a resposta estacionaria e transitoria do sistema de control para as seguintes sinais estándar.

• Impulso unitario.

• Escalón unitario.

• Rampa unitaria.

Resposta ao impulso unitario : Temos a transformada de Laplace do impulso unitario é 1. Agora demos este sinal estándar a un sistema de primeira orde, temos

Agora tomando a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, temos

É claro que a resposta estacionaria do sistema de control depende só da constante de tempo 'T' e é decrescente por natureza.

Resposta ao Escalón Unitario: A transformada de Laplace para o sinal de escalón unitario é 1/s. Aplicando isto a un sistema de primeira orde, analizamos os seus efectos no comportamento do sistema.

Con a axuda de fraccións parciais, tomando a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior, temos

É claro que a resposta temporal depende só da constante de tempo 'T'. Neste caso, o erro estacionario é cero ao colocar o límite t tendendo a cero.

Resposta á Rampa Unitaria : Temos a transformada de Laplace da rampa unitaria é 1/s 2.

Agora demos este sinal estándar a un sistema de primeira orde, temos

Con a axuda de fraccións parciais, tomando a transformada inversa de Laplace da ecuación anterior temos

Ao trazar a función exponencial do tempo temos 'T' ao colocar o límite t tendendo a cero.

Resposta Transitoria e Estacionaria do Sistema de Control de Segunda Orde

Consideremos o diagrama de bloques do sistema de segunda orde.

Deste diagrama de bloques podemos atopar a función de transferencia global que é non lineal. A función de transferencia do sistema de segunda orde é (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Vamos analizar a resposta transitoria do sistema de control para os seguintes sinais estándar.

Resposta ao Impulso Unitario : Temos a transformada de Laplace do impulso unitario é 1. Agora demos este sinal estándar a un sistema de segunda orde, temos

Onde, ω é a frecuencia natural en rad/s e ζ é a razón de amortiguación.

Resposta ao Escalón Unitario : Temos a transformada de Laplace do impulso unitario é 1/s. Agora demos este sinal estándar a un sistema de primeira orde, temos

Agora veremos o efecto de diferentes valores de ζ na resposta. Temos tres tipos de sistemas baseados en diferentes valores de ζ.

Sistema Subamortiguado: Defínese por unha razón de amortiguación (ζ) menor que un, este sistema ten raíces complexas con partes reais negativas, asegurando estabilidade asintótica e un tempo de subida máis corto con algún sobrepico.

Sistema Criticamente Amortiguado : Un sistema é considerado críticamente amortiguado cando o valor de ζ é un. Neste caso, as raíces son reais e as partes reais son sempre repetitivas. O sistema é asintoticamente estable. O tempo de subida é menor neste sistema e non hai presenza de sobrepico finito.

Sistema Sobreamortiguado : Un sistema é considerado sobreamortiguado cando o valor de ζ é maior que un. Neste caso, as raíces son reais e distintas e as partes reais son sempre negativas. O sistema é asintoticamente estable. O tempo de subida é maior que no outro sistema e non hai presenza de sobrepico finito.

Oscilacións Sostidas : Un sistema é considerado amortiguado sostido cando o valor de zeta é cero. Non ocorre amortiguación neste caso.

Agora derivemos as expresións para o tempo de subida, tempo de pico, sobrepico máximo, tempo de estabilización e erro estacionario con un sinal de escalón unitario para o sistema de segunda orde.

Tempo de Subida : Para derivar a expresión para o tempo de subida, temos que igualar a expresión para c(t) = 1. Do anterior temos

Ao resolver a ecuación anterior temos a expresión para o tempo de subida igual a

Tempo de Pico : Ao diferenciar a expresión de c(t) podemos obter a expresión para o tempo de pico. dc(t)/ dt = 0 temos a expresión para o tempo de pico,

Sobrepico Máximo : Agora é claro da figura que o sobrepico máximo ocorrerá no tempo de pico tp, polo que ao poñer o valor do tempo de pico obteremos o sobrepico máximo como

Tempo de Estabilización : O tempo de estabilización está dado pola expresión

Erro Estacionario : O erro estacionario é a diferenza entre a saída real e a saída deseada, polo que ao tempo tendendo a infinito o erro estacionario é cero.