Overgangs- og stabil tilstandssvar i et styresystem

Overgangsrespons af styresystem

Som navnet antyder, betyder overgangsresponsen af styresystemet ændring, og dette sker hovedsageligt efter to betingelser, og disse to betingelser er skrevet som følger-

Betingelse en : Lige efter at systemet er tændt, det vil sige ved tiden for anvendelse af et indgående signal til systemet.

Betingelse to : Lige efter enhver ualmindelig tilstand. Ualmindelige tilstande kan inkludere pludselig ændring i belastningen, kortslutning osv.

Stabiltilstandsrespons af styresystem

Den stabile tilstand opstår, når systemet er stabiliseret, og systemet begynder at arbejde normalt. Stabiltilstandsresponsen af styresystemet er en funktion af indgående signal, og den kaldes også for tvungen respons.

Nu giver overgangsresponsen af styresystemet en klar beskrivelse af, hvordan systemet fungerer under overgangstilstanden, og stabiltilstandsresponsen af styresystemet giver en klar beskrivelse af, hvordan systemet fungerer under den stabile tilstand. 

Derfor er tidsanalyse af begge tilstande meget vigtig. Vi vil separat analysere begge typer respons. Lad os først analysere overgangsresponsen. For at analysere overgangsresponsen har vi nogle tidspecificeringer, og de er skrevet som følger:

Forsinkelses tid: Repræsenteret ved td, denne måling angiver, hvor lang tid det tager responsen at nå halvdelen af dens endelige værdi for første gang.

Stigningstid: Denne tid er repræsenteret ved tr, og kan beregnes ved hjælp af stigningstidsformlen. Vi definerer stigningstid i to tilfælde:

I tilfældet med underdæmpede systemer, hvor værdien af ζ er mindre end ét, defineres stigningstiden i dette tilfælde som tiden, det tager responsen at nå fra nulværdi til hundrede procent af den endelige værdi.

I tilfældet med overdæmpede systemer, hvor værdien af ζ er større end ét, defineres stigningstiden i dette tilfælde som tiden, det tager responsen at nå fra ti procent værdi til nioghalvtreds procent værdi af den endelige værdi.

Topptid: Denne tid er repræsenteret ved tp. Tiden, det tager responsen at nå toppunktet for første gang, kaldes topptid. Topptid er klart vist på tidsrespons specificeringskurven.

Stabiliserings tid: Denne tid er repræsenteret ved ts, og kan beregnes ved hjælp af stabiliserings tidsformlen. Tiden, det tager responsen at nå og inden for den angivne område på omkring (to procent til fem procent) af dens endelige værdi for første gang, kaldes stabiliserings tid. Stabiliserings tid er klart vist på tidsrespons specificeringskurven.

Maksimal overspring: Det udtrykkes (generelt) i procent af den stabile tilstands værdi, og det defineres som den maksimale positive afvigelse af responsen fra dets ønskede værdi. Her er den ønskede værdi den stabile tilstands værdi.

Stabiltilstandsfejl: Defineret som forskellen mellem den faktiske output og den ønskede output, når tiden nærmer sig uendelig. Nu er vi i stand til at gøre en tidsrespons analyse af et førstegradssystem.

Overgangs- og stabiltilstandsrespons af førstegradskontrolsystem

Lad os overveje blokdiagrammet for det førstegradssystem.

Fra dette blokdiagram kan vi finde den samlede overføringsfunktion, der er lineær i sin natur. Overføringsfunktionen for det førstegradssystem er 1/((sT+1)). Vi skal analysere den stabile og overgangsrespons for kontrolsystemet for følgende standardsignal.

• Enhedsimpuls.

• Enhedstrin.

• Enhedsramp.

Enhedsimpuls respons: Vi har Laplace-transformen af enhedsimpuls er 1. Lad os nu give dette standardinput til et førstegradssystem, vi har

Nu ved at tage den inverse Laplace-transformation af ovenstående ligning, har vi

Det er klart, at den stabile respons af kontrolsystemet kun afhænger af tidskonstanten 'T' og den er nedbrydende i sin natur.

Enhedstrin Respons: Laplace-transformen for enhedstrin input er 1/s. Ved at anvende dette på et førstegradssystem, analyserer vi dets effekter på systemets adfærd.

Med hjælp fra partielle fraktioner, ved at tage den inverse Laplace-transformation af ovenstående ligning, har vi

Det er klart, at tidsresponsen kun afhænger af tidskonstanten 'T'. I dette tilfælde er den stabile fejl nul ved at sætte grænsen t går mod nul.

Enhedsramp Respons: Vi har Laplace-transformen af enhedsimpuls er 1/s 2.

Lad os nu give dette standardinput til et førstegradssystem, vi har

Med hjælp fra partielle fraktioner, ved at tage den inverse Laplace-transformation af ovenstående ligning, har vi

Ved at plotte eksponentialfunktionen af tiden, har vi 'T' ved at sætte grænsen t går mod nul.

Overgangs- og stabiltilstandsrespons af andengradskontrolsystem

Lad os overveje blokdiagrammet for det andengradssystem.

Fra dette blokdiagram kan vi finde den samlede overføringsfunktion, der er ikke-lineær i sin natur. Overføringsfunktionen for det andengradssystem er (ω2) / {s (s + 2ζω)}. Vi skal analysere den overgangsrespons af kontrolsystemet for følgende standardsignal.

Enhedsimpuls Respons: Vi har Laplace-transformen af enhedsimpuls er 1. Lad os nu give dette standardinput til andengradssystem, vi har

Hvor, ω er naturlig frekvens i rad/sec og ζ er demperforholdet.

Enhedstrin Respons: Vi har Laplace-transformen af enhedimpuls er 1/s. Lad os nu give dette standardinput til andengradssystem, vi har

Nu vil vi se effekten af forskellige værdier af ζ på responsen. Vi har tre typer systemer baseret på forskellige værdier af ζ.

Underdæmpet System: Defineret ved et demperforhold (ζ) mindre end ét, dette system har komplekse rødder med negative reelle dele, hvilket sikrer asymptotisk stabilitet og en kortere stigningstid med nogen overspring.

Kritisk Dæmpet System: Et system siges at være kritisk dæmpet, når værdien af ζ er ét. I dette tilfælde er rødderne reelle og de reelle dele er altid gentagne. Systemet er asymptotisk stabilt. Stigningstiden er kortere i dette system, og der er ingen endelig overspring.

Overdæmpet System: Et system siges at være overdæmpet, når værdien af ζ er større end ét. I dette tilfælde er rødderne reelle og forskellige, og de reelle dele er altid negative. Systemet er asymptotisk stabilt. Stigningstiden er længere end i de andre systemer, og der er ingen endelig overspring.

Varig Oscillation: Et system siges at være varigt dæmpet, når værdien af zeta er nul. Der foregår ingen dæmpning i dette tilfælde.

Lad os nu udlede udtryk for stigningstid, topptid, maksimal overspring, stabiliserings tid og stabiltilstandsfejl med en enhedstrin input for andengradssystem.

Stigningstid: For at udlede udtrykket for stigningstiden skal vi sætte c(t) = 1. Fra ovenstående har vi

Ved at løse ovenstående ligning har vi udtryk for stigningstid lig med

Topptid: Ved at differentiere udtrykket for c(t) kan vi opnå udtrykket for topptid. dc(t)/ dt = 0, har vi udtryk for topptid,

Maksimal Overspring: Nu er det klart fra figuren, at den maksimale overspring vil opstå ved topptid tp, så ved at sætte værdien af topptid, får vi maksimal overspring som

Stabiliserings tid: Stabiliserings tiden er givet ved udtrykket

Stabiltilstandsfejl: Den stabile fejl er forskellen mellem den faktiske output og den ønskede output, så ved tiden nærmer sig uendelig, er den stabile fejl nul.