Транзіентна та стаціонарна відповідь в системі керування

Перехідна характеристика системи керування

Як відомо з назви, перехідна характеристика системи керування означає зміну, це відбувається переважно після двох умов, і ці дві умови записані наступним чином:

Умова одна : Відразу після увімкнення системи, тобто в момент застосування вхідного сигналу до системи.

Умова друга : Відразу після будь-яких аварійних ситуацій. Аварійні ситуації можуть включати різкий зміну навантаження, коротке замикання тощо.

Сталостійна характеристика системи керування

Сталостійний стан настає після того, як система стабілізується, і вона починає працювати нормально. Сталостійна характеристика системи керування є функцією вхідного сигналу, і її також називають вимушеною відповіддю.

Тепер перехідна характеристика системи керування дає чітке опис того, як система функціонує під час перехідного стану, а сталостійна характеристика системи керування дає чітке опис того, як система функціонує під час сталостійного стану.

Тому аналіз обох станів за часом дуже важливий. Ми окремо проаналізуємо обидва типи відповідей. Спочатку давайте проаналізуємо перехідну відповідь. Для аналізу перехідної відповіді у нас є деякі часові специфікації, і вони записані наступним чином:

Час затримки: Позначається td, цей показник вимірює, скільки часу потрібно для відповіді, щоб досягти п'ятдесяти відсотків свого кінцевого значення вперше.

Час сприйняття: Цей час позначається tr, і його можна обчислити за формулою часу сприйняття. Ми визначаємо час сприйняття в двох випадках:

У випадку недостатньо загальновагованих систем, де значення ζ менше одного, в цьому випадку час сприйняття визначається як час, необхідний для відповіді, щоб досягти від нульового значення до ста відсотків кінцевого значення.

У випадку надзагальновагованих систем, де значення ζ більше одного, в цьому випадку час сприйняття визначається як час, необхідний для відповіді, щоб досягти від десяти відсотків до дев'яносто відсотків кінцевого значення.

Час досягнення піку: Цей час позначається tp. Час, необхідний для відповіді, щоб досягти пікового значення вперше, цей час відомий як час досягнення піку. Час досягнення піку чітко показаний на кривій часових характеристик.

Час установлювання: Цей час позначається ts, і його можна обчислити за формулою часу установлювання. Час, необхідний для відповіді, щоб досягти і в межах вказаного діапазону (від двох до п'яти відсотків) свого кінцевого значення вперше, цей час відомий як час установлювання. Час установлювання чітко показаний на кривій часових характеристик.

Максимальне перевищення: Виражається (загалом) у відсотках від сталостійного значення і визначається як максимальне позитивне відхилення відповіді від бажаного значення. Тут бажане значення — це сталостійне значення.

Сталостійна помилка: Визначається як різниця між фактичним виходом та бажаним виходом, коли час прямує до нескінченності. Тепер ми готові провести часовий аналіз першого порядку системи.

Перехідний та сталостійний стани першого порядку системи керування

Розглянемо блок-схему системи першого порядку.

З цієї блок-схеми ми можемо знайти загальну передавальну функцію, яка лінійна за природою. Передавальна функція системи першого порядку 1/((sT+1)). Ми збираємось проаналізувати сталостійний та перехідний стани системи керування для наступних стандартних сигналів.

• Одиничний імпульс.

• Одиничний стрибок.

• Одиничний нахил.

Відповідь на одиничний імпульс: Ми маємо перетворення Лапласа для одиничного імпульсу 1. Тепер давайте надамо цей стандартний вхід системі першого порядку, ми маємо

Тепер, взявши обернене перетворення Лапласа вище зазначеного рівняння, ми маємо

Зрозуміло, що сталостійна відповідь системи керування залежить лише від часової константи 'T' і вона має характер згасання.

Відповідь на одиничний стрибок: Перетворення Лапласа для одиничного стрибка 1/s. Застосовуючи це до системи першого порядку, ми аналізуємо його вплив на поведінку системи.

З допомогою часткових дробів, взявши обернене перетворення Лапласа вище зазначеного рівняння, ми маємо

Зрозуміло, що часовий відгук залежить лише від часової константи 'T'. У цьому випадку сталостійна помилка дорівнює нулю, коли ми покладаємо границю t, що прямує до нуля.

Відповідь на одиничний нахил: Ми маємо перетворення Лапласа для одиничного імпульсу 1/s 2.

Тепер давайте надамо цей стандартний вхід системі першого порядку, ми маємо

З допомогою часткових дробів, взявши обернене перетворення Лапласа вище зазначеного рівняння, ми маємо

Побудувавши експоненціальну функцію часу, ми маємо 'T', поклавши границю t, що прямує до нуля.

Перехідний та сталостійний стани системи керування другого порядку

Розглянемо блок-схему системи другого порядку.

З цієї блок-схеми ми можемо знайти загальну передавальну функцію, яка нелінійна за природою. Передавальна функція системи другого порядку (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Ми збираємось проаналізувати перехідний стан системи керування для наступних стандартних сигналів.

Відповідь на одиничний імпульс: Ми маємо перетворення Лапласа для одиничного імпульсу 1. Тепер давайте надамо цей стандартний вхід системі другого порядку, ми маємо

Де ω - природна частота в рад/сек, а ζ - коефіцієнт загальновагованості.

Відповідь на одиничний стрибок: Ми маємо перетворення Лапласа для одиничного імпульсу 1/s. Тепер давайте надамо цей стандартний вхід системі першого порядку, ми маємо

Тепер ми побачимо вплив різних значень ζ на відповідь. У нас є три типи систем на основі різних значень ζ.

Недостатньо загальновагована система: Визначається коефіцієнтом загальновагованості (ζ), який менший за один, ця система має комплексні корені з від'ємними дійсними частинами, що забезпечує асимптотичну стабільність та коротший час сприйняття з деяким перевищенням.

Критично загальновагована система: Система вважається критично загальновагованою, коли значення ζ дорівнює одному. У цьому випадку корені дійсні за природою, а дійсні частини завжди повторюються. Система асимптотично стабільна. Час сприйняття менший у цій системі, і немає скінченного перевищення.

Надзагальновагована система: Система вважається надзагальновагованою, коли значення ζ більше за один. У цьому випадку корені дійсні та відрізняються за природою, а дійсні частини завжди від'ємні. Система асимптотично стабільна. Час сприйняття більший, ніж в інших системах, і немає скінченного перевищення.

Тривалі коливання: Система вважається тривало загальновагованою, коли значення zeta дорівнює нулю. В цьому випадку не відбувається загальновагованість.

Тепер давайте отримаємо вирази для часу сприйняття, часу досягнення піку, максимального перевищення, часу установлювання та сталостійної помилки з одиничним стрибком для системи другого порядку.

Час сприйняття: Щоб отримати вираз для часу сприйняття, нам потрібно прирівняти вираз c(t) = 1. З вище зазначеного ми маємо

Розв'язавши вище зазначене рівняння, ми отримуємо вираз для часу сприйняття, який дорівнює

Час досягнення піку: Диференціюючи вираз c(t), ми можемо отримати вираз для часу досягнення піку. dc(t)/ dt = 0, ми отримуємо вираз для часу досягнення піку,

Максимальне перевищення: Зараз зрозуміло з малюнка, що максимальне перевищення відбудеться в час досягнення піку tp, тому, поклавши значення часу досягнення піку, ми отримаємо максимальне перевищення як

Час установлювання: Час установлювання задається виразом

Сталостійна помилка: Сталостійна помилка - це різниця між фактичним виходом та бажаним виходом, тому, коли час прямує до нескінченності, сталостійна помилка дорівнює нулю.