Transient- und stationärer Zustand in einem Regelungssystem

Übergangsverhalten des Regelkreises

Wie der Name schon sagt, bedeutet das Übergangsverhalten des Regelkreises Veränderung. Dies tritt hauptsächlich nach zwei Bedingungen auf, die wie folgt beschrieben werden:

Bedingung eins : Sofort nach dem Einschalten des Systems, das heißt, zum Zeitpunkt der Anwendung eines Eingangssignals an das System.

Bedingung zwei : Sofort nach außergewöhnlichen Bedingungen. Außergewöhnliche Bedingungen können plötzliche Laständerungen, Kurzschlüsse usw. beinhalten.

Steady-State-Verhalten des Regelkreises

Das Steady-State-Verhalten tritt ein, nachdem das System stabilisiert ist und normal arbeitet. Das Steady-State-Verhalten des Regelkreises ist eine Funktion des Eingangssignals und wird auch als erzwungene Antwort bezeichnet.

Das Übergangsverhalten des Regelkreises gibt eine klare Beschreibung davon, wie das System während des Übergangszustands funktioniert, und das Steady-State-Verhalten des Regelkreises gibt eine klare Beschreibung davon, wie das System während des Steady-State-Zustands funktioniert.

Daher ist die Zeitanalyse beider Zustände sehr wichtig. Wir werden beide Arten von Antworten separat analysieren. Lassen Sie uns zunächst das Übergangsverhalten analysieren. Um das Übergangsverhalten zu analysieren, haben wir einige Zeitparameter, die wie folgt geschrieben sind:

Verzögerungszeit: Mit td dargestellt, misst dieser Parameter, wie lange es dauert, bis die Antwort erstmals fünfzig Prozent ihres Endwertes erreicht.

Anstiegszeit: Diese Zeit wird mit tr bezeichnet und kann mit der Anstiegszeitformel berechnet werden. Wir definieren die Anstiegszeit in zwei Fällen:

Im Fall von unterdämpften Systemen, bei denen der Wert von ζ kleiner als eins ist, wird die Anstiegszeit definiert als die Zeit, die benötigt wird, um vom Nullwert auf den hundertprozentigen Endwert zu steigen.

Im Fall von überdämpften Systemen, bei denen der Wert von ζ größer als eins ist, wird die Anstiegszeit definiert als die Zeit, die benötigt wird, um vom zehnprozentigen Wert auf den neunzigprozentigen Endwert zu steigen.

Spitzenzeit: Diese Zeit wird mit tp bezeichnet. Die Zeit, die benötigt wird, um den Spitzenwert erstmals zu erreichen, wird als Spitzenzeit bezeichnet. Die Spitzenzeit wird klar in der Zeitantwortspezifikationskurve gezeigt.

Einstellzeit: Diese Zeit wird mit ts bezeichnet und kann mit der Einstellzeitformel berechnet werden. Die Zeit, die benötigt wird, um den Endwert innerhalb eines angegebenen Bereichs von etwa (zwei bis fünf Prozent) zu erreichen, wird als Einstellzeit bezeichnet. Die Einstellzeit wird klar in der Zeitantwortspezifikationskurve gezeigt.

Maximale Überschwingung: Sie wird (allgemein) in Prozent des Steady-State-Werts ausgedrückt und definiert als die maximale positive Abweichung der Antwort von ihrem gewünschten Wert. Der gewünschte Wert ist hier der Steady-State-Wert.

Steady-State-Fehler: Definiert als die Differenz zwischen der tatsächlichen Ausgabe und der gewünschten Ausgabe, wenn die Zeit gegen unendlich strebt. Nun sind wir in der Lage, eine Zeitantwortanalyse eines Systems erster Ordnung durchzuführen.

Übergangs- und Steady-State-Antwort eines Regelkreises erster Ordnung

Betrachten wir den Blockschaltplan des Systems erster Ordnung.

Aus diesem Blockschaltplan können wir die Gesamtübertragungsfunktion finden, die linear ist. Die Übertragungsfunktion des Systems erster Ordnung ist 1/((sT+1)). Wir werden die Steady-State- und Übergangsantwort des Regelkreises für die folgenden Standardsignale analysieren.

• Einheitsimpuls.

• Einheitssprung.

• Einheitsrampenfunktion.

Einheitsimpulsantwort : Wir haben die Laplace-Transformation des Einheitsimpulses gleich 1. Geben wir nun dieses Standard-Eingangssignal einem System erster Ordnung, erhalten wir

Nun nehmen wir die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung, erhalten wir

Es ist klar, dass die Steady-State-Antwort des Regelkreises nur von der Zeitkonstante 'T' abhängt und abklingend ist.

Einheitssprungantwort: Die Laplace-Transformation für das Einheitssprung-Eingangssignal ist 1/s. Wenn wir dies auf ein System erster Ordnung anwenden, analysieren wir seine Auswirkungen auf das Verhalten des Systems.

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung, indem wir die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung nehmen, erhalten wir

Es ist klar, dass die Zeitantwort nur von der Zeitkonstante 'T' abhängt. In diesem Fall beträgt der Steady-State-Fehler null, wenn wir den Grenzwert t gegen unendlich setzen.

Einheitsrampenantwort : Wir haben die Laplace-Transformation des Einheitsimpulses gleich 1/s².

Geben wir nun dieses Standard-Eingangssignal einem System erster Ordnung, erhalten wir

Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung, indem wir die inverse Laplace-Transformation der obigen Gleichung nehmen, erhalten wir

Beim Plotten der exponentiellen Funktion der Zeit erhalten wir 'T', wenn wir den Grenzwert t gegen unendlich setzen.

Übergangs- und Steady-State-Antwort eines Regelkreises zweiter Ordnung

Betrachten wir den Blockschaltplan des Systems zweiter Ordnung.

Aus diesem Blockschaltplan können wir die Gesamtübertragungsfunktion finden, die nichtlinear ist. Die Übertragungsfunktion des Systems zweiter Ordnung ist (ω²) / {s (s + 2ζω )}. Wir werden die Übergangsantwort des Regelkreises für die folgenden Standardsignale analysieren.

Einheitsimpulsantwort : Wir haben die Laplace-Transformation des Einheitsimpulses gleich 1. Geben wir nun dieses Standard-Eingangssignal einem System zweiter Ordnung, erhalten wir

Wobei ω die natürliche Frequenz in rad/s und ζ das Dämpfungsverhältnis ist.

Einheitssprungantwort : Wir haben die Laplace-Transformation des Einheitsimpulses gleich 1/s. Geben wir nun dieses Standard-Eingangssignal einem System erster Ordnung, erhalten wir

Nun werden wir die Auswirkungen verschiedener Werte von ζ auf die Antwort betrachten. Wir haben drei Arten von Systemen basierend auf verschiedenen Werten von ζ.

Unterdämpftes System: Definiert durch ein Dämpfungsverhältnis (ζ) kleiner als eins, hat dieses System komplexe Wurzeln mit negativen Realteilen, was asymptotische Stabilität und eine kürzere Anstiegszeit mit etwas Überschwingung sicherstellt.

Kritisch gedämpftes System : Ein System wird als kritisch gedämpft bezeichnet, wenn der Wert von ζ eins ist. In diesem Fall sind die Wurzeln reell und die Realteile sind immer wiederholend. Das System ist asymptotisch stabil. Die Anstiegszeit ist in diesem System geringer und es gibt keine endliche Überschwingung.

Überdämpftes System : Ein System wird als überdämpft bezeichnet, wenn der Wert von ζ größer als eins ist. In diesem Fall sind die Wurzeln reell und unterschiedlich, und die Realteile sind immer negativ. Das System ist asymptotisch stabil. Die Anstiegszeit ist länger als in anderen Systemen und es gibt keine endliche Überschwingung.

Nachhaltige Schwingungen : Ein System wird als nachhaltig gedämpft bezeichnet, wenn der Wert von Zeta null ist. Es findet keine Dämpfung statt.

Nun leiten wir die Ausdrücke für Anstiegszeit, Spitzenzeit, maximale Überschwingung, Einstellzeit und Steady-State-Fehler mit einem Einheitssprung-Eingangssignal für ein System zweiter Ordnung her.

Anstiegszeit : Um den Ausdruck für die Anstiegszeit herzuleiten, müssen wir den Ausdruck für c(t) = 1 setzen. Aus dem Obigen erhalten wir

Durch Lösen der obigen Gleichung erhalten wir den Ausdruck für die Anstiegszeit gleich

Spitzenzeit : Durch Differentiation des Ausdrucks für c(t) können wir den Ausdruck für die Spitzenzeit erhalten. dc(t)/ dt = 0 erhalten wir den Ausdruck für die Spitzenzeit,

Maximale Überschwingung : Es ist aus der Abbildung klar, dass die maximale Überschwingung bei der Spitzenzeit tp auftritt. Durch Einsetzen des Wertes der Spitzenzeit erhalten wir die maximale Überschwingung als

Einstellzeit : Die Einstellzeit wird durch den Ausdruck gegeben

Steady-State-Fehler : Der Steady-State-Fehler ist die Differenz zwischen der tatsächlichen Ausgabe und der gewünschten Ausgabe. Daher beträgt der Steady-State-Fehler null, wenn die Zeit gegen unendlich strebt.