Geçici ve Durağan Durum Yanıtı Bir Kontrol Sisteminde

Kontrol Sisteminin Geçici Durum Yanıtı

İsminden de anlaşılacağı gibi, kontrol sisteminin geçici durum yanıtı değişiklik anlamına gelir. Bu, çoğunlukla iki koşul sonrasında gerçekleşir ve bu iki koşul şöyledir:

Birinci Koşul : Sistemin açıldığı anda, yani sisteme bir giriş sinyali uygulandığı zaman.

İkinci Koşul : Herhangi bir anormal durumdan hemen sonra. Anormal durumlar, yükte ani bir değişim, kısa devre gibi olabilir.

Kontrol Sisteminin Durağan Durum Yanıtı

Durağan durum, sistem yerleştiğinde ve durağan durumda normal çalışmaya başladığında ortaya çıkar. Kontrol sisteminin durağan durum yanıtı, giriş sinyaline bağlı bir fonksiyondur ve zorlanmış yanıt olarak da adlandırılır.

Şimdi, kontrol sisteminin geçici durum yanıtı, sistemin geçici durumda nasıl işlediğini açıkça açıklar ve kontrol sisteminin durağan durum yanıtı, sistemin durağan durumda nasıl işlediğini açıkça açıklar.

Bu nedenle, her iki durumun zamana göre analizi çok önemlidir. Her iki tip yanıtın da ayrı ayrı analiz edilecektir. Öncelikle geçici durum yanıtını analiz edelim. Geçici durum yanıtını analiz etmek için bazı zaman özellikleri vardır ve bunlar şöyle yazılmıştır:

Gecikme Zamanı: td ile gösterilen bu metrik, cevabın ilk defa son değerinin yüzde elliye ulaşması için ne kadar sürede olduğunu ölçer.

Yükselme Zamanı: Bu zaman tr ile gösterilir ve yükseltme zaman formülü kullanılarak hesaplanabilir. Yükselme zamanını iki durumda tanımlarız:

Zayıf sönümlenmiş sistemlerde, ζ'nin değeri birin altında olduğunda, bu durumda yükselme zamanı, cevabın sıfır değerinden yüzde yüz son değere ulaşması için gereken zamandır.

Aşırı sönümlenmiş sistemlerde, ζ'nin değeri birin üzerinde olduğunda, bu durumda yükselme zamanı, cevabın yüzde on değeri ile yüzde doksan son değere ulaşması için gereken zamandır.

Zirve Zamanı: Bu zaman tp ile gösterilir. Cevabın ilk defa zirve değerine ulaşması için gereken zamandır. Zirve zamanı, zaman yanıt özelliklerini gösteren eğri üzerinde net bir şekilde gösterilir.

Dengeleme Zamanı: Bu zaman ts ile gösterilir ve dengeleme zaman formülü kullanılarak hesaplanabilir. Cevabın ilk defa son değerin yaklaşık yüzde iki ila beşi arası belirli bir aralıkta kalması için gereken zamandır. Dengeleme zamanı, zaman yanıt özelliklerini gösteren eğri üzerinde net bir şekilde gösterilir.

Maksimum Aşırı Fırlatma: Genel olarak durağan durum değerinin yüzdesi olarak ifade edilir ve cevabın istenen değerinden olan maksimum pozitif sapmayı tanımlar. Burada istenen değer, durağan durum değeridir.

Durağan Durum Hatası: Gerçek çıkış ile istenen çıkış arasındaki fark olarak tanımlanır ve zaman sonsuza giderken hesaplanır. Şimdi birinci derece sistemin zaman yanıt analizini yapmaya hazırız.

Birinci Derece Kontrol Sisteminin Geçici ve Durağan Durum Yanıtları

Birinci derece sistemin blok diyagramını ele alalım.

Bu blok diyagramından doğrusal bir genel aktarım fonksiyonu bulabiliriz. Birinci derece sistemin aktarım fonksiyonu 1/((sT+1))'dir. Aşağıdaki standart sinyaller için kontrol sisteminin durağan ve geçici durum yanıtını analiz edeceğiz.

• Birim dürtü.

• Birim adım.

• Birim rampa.

Birim dürtü yanıtı: Birim dürtünün Laplace dönüşümünün 1 olduğunu biliyoruz. Şimdi bu standart girişi birinci derece sisteme verelim, o zaman

Şimdi yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alalım, o zaman

Açıkça görülüyor ki, kontrol sisteminin durağan durum yanıtı sadece zaman sabiti 'T'ye bağlıdır ve azalan niteliktedir.

Birim Adım Yanıtı: Birim adım girişinin Laplace dönüşümü 1/s'tir. Bunu birinci derece sisteme uygulayarak, sistemin davranışındaki etkilerini analiz ederiz.

Kısmi kesirler yardımıyla yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alalım, o zaman

Açıkça görülüyor ki, zaman yanıtı sadece zaman sabiti 'T'ye bağlıdır. Bu durumda, t'nin sıfıra yaklaşması durumunda durağan durum hatası sıfırdır.

Birim Rampa Yanıtı: Birim dürtünün Laplace dönüşümünün 1/s² olduğunu biliyoruz.

Şimdi bu standart girişi birinci derece sisteme verelim, o zaman

Kısmi kesirler yardımıyla yukarıdaki denklemin ters Laplace dönüşümünü alalım, o zaman

Zamanın üstel fonksiyonunu çizdiğimizde, t'nin sıfıra yaklaşması durumunda 'T' elde ederiz.

İkinci Derece Kontrol Sisteminin Geçici ve Durağan Durum Yanıtları

İkinci derece sistemin blok diyagramını ele alalım.

Bu blok diyagramından doğrusal olmayan genel aktarım fonksiyonu bulabiliriz. İkinci derece sistemin aktarım fonksiyonu (ω²) / {s (s + 2ζω )}’dur. Aşağıdaki standart sinyaller için kontrol sisteminin geçici durum yanıtını analiz edeceğiz.

Birim Dürtü Yanıtı: Birim dürtünün Laplace dönüşümünün 1 olduğunu biliyoruz. Şimdi bu standart girişi ikinci derece sisteme verelim, o zaman

Burada, ω rad/saniye cinsinden doğal frekans ve ζ sönüm oranıdır.

Birim Adım Yanıtı: Birim dürtünün Laplace dönüşümünün 1/s olduğunu biliyoruz. Şimdi bu standart girişi birinci derece sisteme verelim, o zaman

Şimdi farklı ζ değerlerinin yanıta etkisini göreceğiz. ζ'nin farklı değerlerine dayanarak üç tip sistemimiz var.

Zayıf Sönümlenmiş Sistem: Sönüm oranı (ζ) birin altında olduğunda tanımlanan sistem, negatif gerçek kısımlara sahip karmaşık köklere sahiptir, asimptotik kararlılığı sağlar ve bazı aşırı fırlatmalara rağmen daha kısa bir yükselme zamanı sunar.

Kritik Sönümlenmiş Sistem: Sönüm oranı (ζ) bir olduğunda, sistem kritik sönümlenmiş sistem olarak adlandırılır. Bu durumda kökler gerçek sayıdır ve gerçek kısımlar her zaman tekrar edicidir. Sistem asimptotik kararlıdır. Yükselme zamanı bu sistemde daha azdır ve sonlu aşırı fırlatma yoktur.

Aşırı Sönümlenmiş Sistem: Sönüm oranı (ζ) birin üzerinde olduğunda, sistem aşırı sönümlenmiş sistem olarak adlandırılır. Bu durumda kökler gerçek ve ayrık sayıdır ve gerçek kısımlar her zaman negatiftir. Sistem asimptotik kararlıdır. Yükselme zamanı diğer sistemlerden daha fazladır ve sonlu aşırı fırlatma yoktur.

Sürekli Salınım: Sönüm oranı (ζ) sıfır olduğunda, sistem sürekli salınımlı sistem olarak adlandırılır. Bu durumda hiç sönümleşme olmaz.

Şimdi, ikinci derece sistemin birim adım girişine karşılık yükselme zamanı, zirve zamanı, maksimum aşırı fırlatma, dengeleme zamanı ve durağan durum hatasının ifadelerini türetelim.

Yükselme Zamanı: Yükselme zamanı ifadesini türetmek için, c(t) = 1 eşitliğini yazmalıyız. Yukarıdaki ifadeden

Yukarıdaki denklemi çözerek, yükselme zamanı için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz

Zirve Zamanı: c(t) ifadesini türev alarak, zirve zamanı ifadesini elde edebiliriz. dc(t)/ dt = 0 olduğunda, zirve zamanı için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz,

Maksimum Aşırı Fırlatma: Şekilden açıkça görüldüğü gibi, maksimum aşırı fırlatma, zirve zamanı tp'de gerçekleşecektir. Zirve zamanı değerini yerine koyduğumuzda, maksimum aşırı fırlatma şu şekilde olacaktır

Dengeleme Zamanı: Dengeleme zamanı, aşağıdaki ifadeyle verilir

Durağan Durum Hatası: Durağan durum hatası, gerçek çıkış ile istenen çıkış arasındaki farktır. Zaman sonsuza giderken, durağan durum hatası sıfırdır.