Risposta Transitoria e a Stato Stazionario in un Sistema di Controllo
Risposta transitoria del sistema di controllo
Come suggerisce il nome, la risposta transitoria del sistema di controllo significa cambiamento, questo si verifica principalmente dopo due condizioni e queste due condizioni sono scritte come segue:
Condizione uno : Subito dopo l'attivazione del sistema, ciò significa al momento dell'applicazione di un segnale di ingresso al sistema.
Condizione seconda : Subito dopo qualsiasi condizione anomala. Le condizioni anormali possono includere un cambiamento improvviso del carico, un cortocircuito, ecc.
Risposta a regime del sistema di controllo
Il regime stabile si verifica dopo che il sistema si è stabilizzato e inizia a funzionare normalmente. La risposta a regime del sistema di controllo è una funzione del segnale di ingresso ed è anche chiamata risposta forzata.
Ora, la risposta transitoria del sistema di controllo fornisce una descrizione chiara di come il sistema funziona durante lo stato transitorio e la risposta a regime del sistema di controllo fornisce una descrizione chiara di come il sistema funziona durante lo stato stabile.
Pertanto, l'analisi temporale di entrambi gli stati è essenziale. Analizzeremo separatamente entrambi i tipi di risposte. Analizziamo prima la risposta transitoria. Per analizzare la risposta transitoria, abbiamo alcune specifiche temporali e sono scritte come segue:
Tempo di ritardo: Rappresentato da td, questa metrica misura quanto tempo impiega la risposta per raggiungere il cinquanta percento del suo valore finale per la prima volta.
Tempo di salita: Questo tempo è rappresentato da tr e può essere calcolato utilizzando la formula del tempo di salita. Definiamo il tempo di salita in due casi:
Nel caso dei sistemi sottosmorzati dove il valore di ζ è inferiore a uno, in questo caso il tempo di salita è definito come il tempo necessario alla risposta per passare dal valore zero al cento percento del valore finale.
Nel caso dei sistemi sovrasmorzati dove il valore di ζ è superiore a uno, in questo caso il tempo di salita è definito come il tempo necessario alla risposta per passare dal dieci percento al novanta percento del valore finale.
Tempo di picco: Questo tempo è rappresentato da tp. Il tempo necessario alla risposta per raggiungere il valore di picco per la prima volta, questo tempo è noto come tempo di picco. Il tempo di picco è chiaramente mostrato nella curva delle specifiche della risposta temporale.
Tempo di insediamento: Questo tempo è rappresentato da ts e può essere calcolato utilizzando la formula del tempo di insediamento. Il tempo necessario alla risposta per raggiungere e rimanere all'interno di un intervallo specifico (tra il due e il cinque percento) del suo valore finale per la prima volta, questo tempo è noto come tempo di insediamento. Il tempo di insediamento è chiaramente mostrato nella curva delle specifiche della risposta temporale.
Sovrascorrimento massimo: È espresso (in generale) in percentuale del valore a regime e viene definito come la deviazione positiva massima della risposta dal suo valore desiderato. Qui il valore desiderato è il valore a regime.
Errore a regime: Definito come la differenza tra l'uscita effettiva e l'uscita desiderata quando il tempo tende all'infinito. Ora siamo in grado di fare un'analisi della risposta temporale di un sistema del primo ordine.
Risposta transitoria e a regime di un sistema di controllo del primo ordine
Consideriamo il diagramma a blocchi del sistema del primo ordine.
Da questo diagramma a blocchi possiamo trovare la funzione di trasferimento complessiva che è lineare. La funzione di trasferimento del sistema del primo ordine è 1/((sT+1)). Stiamo per analizzare la risposta a regime e transitoria del sistema di controllo per i seguenti segnali standard.
Impulso unitario.
Gradino unitario.
Rampante unitaria.
Risposta all'impulso unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario che è 1. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Ora, prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
È chiaro che la risposta a regime del sistema di controllo dipende solo dalla costante di tempo 'T' ed è decrescente per natura.
Risposta al gradino unitario: La trasformata di Laplace per l'ingresso a gradino unitario è 1/s. Applicandola a un sistema del primo ordine, analizziamo i suoi effetti sul comportamento del sistema.
Con l'aiuto delle frazioni parziali, prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
È chiaro che la risposta temporale dipende solo dalla costante di tempo 'T'. In questo caso l'errore a regime è zero mettendo il limite t che tende a zero.
Risposta alla rampante unitaria : Abbiamo la trasformata di Laplace della rampante unitaria che è 1/s 2.
Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Con l'aiuto delle frazioni parziali, prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
Tracciando la funzione esponenziale del tempo, abbiamo 'T' ponendo il limite t che tende a zero.
Risposta transitoria e a regime di un sistema di controllo del secondo ordine
Consideriamo il diagramma a blocchi del sistema del secondo ordine.
Da questo diagramma a blocchi possiamo trovare la funzione di trasferimento complessiva che è non lineare. La funzione di trasferimento del sistema del secondo ordine è (ω2) / {s (s + 2ζω)}. Stiamo per analizzare la risposta transitoria del sistema di controllo per i seguenti segnali standard.
Risposta all'impulso unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario che è 1. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del secondo ordine, abbiamo
Dove, ω è la frequenza naturale in rad/sec e ζ è il rapporto di smorzamento.
Risposta al gradino unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario che è 1/s. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Ora vedremo l'effetto di diversi valori di ζ sulla risposta. Abbiamo tre tipi di sistemi in base ai diversi valori di ζ.
Sistema sottosmorzato: Definito da un rapporto di smorzamento (ζ) inferiore a uno, questo sistema presenta radici complesse con parti reali negative, garantendo stabilità asintotica e un tempo di salita più breve con qualche sovrascorrimento.
Sistema criticamente smorzato : Un sistema è detto criticamente smorzato quando il valore di ζ è uno. In questo caso le radici sono reali e le parti reali sono sempre ripetitive. Il sistema è asintoticamente stabile. Il tempo di salita è minore in questo sistema e non c'è presenza di sovrascorrimento finito.
Sistema sovrasmorzato : Un sistema è detto sovrasmorzato quando il valore di ζ è maggiore di uno. In questo caso le radici sono reali e distinte e le parti reali sono sempre negative. Il sistema è asintoticamente stabile. Il tempo di salita è maggiore degli altri sistemi e non c'è presenza di sovrascorrimento finito.
Oscillazioni sostenute : Un sistema è detto smorzato sostenuto quando il valore di zeta è zero. Non si verifica alcuno smorzamento in questo caso.
Ora deriviamo le espressioni per il tempo di salita, il tempo di picco, il sovrascorrimento massimo, il tempo di insediamento e l'errore a regime con un ingresso a gradino unitario per un sistema del secondo ordine.
Tempo di salita : Per derivare l'espressione del tempo di salita dobbiamo eguagliare l'espressione per c(t) = 1. Dall'alto abbiamo
Risolvendo l'equazione sopra, abbiamo l'espressione per il tempo di salita uguale a
Tempo di picco : Differenziando l'espressione di c(t) possiamo ottenere l'espressione per il tempo di picco. dc(t)/ dt = 0 abbiamo l'espressione per il tempo di picco,
Sovrascorrimento massimo : Ora è chiaro dalla figura che il sovrascorrimento massimo si verificherà al tempo di picco tp, quindi ponendo il valore del tempo di picco otterremo il sovrascorrimento massimo come
Tempo di insediamento : Il tempo di insediamento è dato dall'espressione
Errore a regime : L'errore a regime è la differenza tra l'uscita effettiva e l'uscita desiderata, quindi al tendere del tempo all'infinito l'errore a regime è zero.
