Átmeneti és állapotállam-válasz egy irányítórendszerben

Vezérlőrendszer átmeneti válasza

A név alapján is sejtethető, a vezérlőrendszer átmeneti válasza jelenti a változást, ami főleg két feltétel után következik be, amelyek a következők:

Első feltétel: A rendszer bekapcsolása után, azaz a bemeneti jel alkalmazásakor.

Második feltétel: Bármilyen rendellenes körülmények után. A rendellenes körülmények közé tartozhat például a terhelés hirtelen bekövetkező változása, rövidzárlat stb.

Vezérlőrendszer állapotmegmaradó válasza

Az állapotmegmaradó állapot akkor lép fel, amikor a rendszer stabilizálódott, és a rendszer normál működésbe kezd. A vezérlőrendszer állapotmegmaradó válasza a bemeneti jel függvénye, és erőltetett válasznak is nevezik.

A vezérlőrendszer átmeneti válasza világosan leírja, hogyan működik a rendszer az átmeneti állapotban, míg az állapotmegmaradó válasza megmutatja, hogyan működik a rendszer az állapotmegmaradó állapotban.

Tehát mindkét állapot időbeli elemzése nagyon fontos. Külön-külön elemezzük mindkét típusú választ. Először elemezzük az átmeneti választ. Az átmeneti válasz elemzéséhez van néhány időbeli specifikáció, amelyek a következők:

Késleltetési idő: Amelyet td-val jelölünk, ez a metrika azt méri, hogy mennyi idő alatt éri el a válasz először a végső érték 50%-át.

Emelkedési idő: Ezt tr-vel jelöljük, és számítható a emelkedési idő képletével. Az emelkedési időt két esetben definiáljuk:

Az aluldämpített rendszerek esetén, ahol ζ értéke kisebb, mint egy, ebben az esetben az emelkedési idő az, ameddig a válasz nullától a végső érték 100%-áig emelkedik.

Az overdämpített rendszerek esetén, ahol ζ értéke nagyobb, mint egy, ebben az esetben az emelkedési idő az, ameddig a válasz a végső érték 10%-ától 90%-áig emelkedik.

Csúcsidő: Ezt tp-vel jelöljük. Az idő, amire a válasz először eléri a csúcspontot, ezt nevezzük csúcsidőnek. A csúcsidő jól látható az időbeli válaszspecifikációs görbén.

Beállítási idő: Ezt ts-vel jelöljük, és számítható a beállítási idő képletével. Az idő, amire a válasz először eléri és belül marad a végső érték (2-5%) meghatározott tartományán belül, ezt nevezzük beállítási időnek. A beállítási idő jól látható az időbeli válaszspecifikációs görbén.

Maximális túlrepülés: Általában a százalékos értékben fejezzük ki, és úgy definiáljuk, hogy a válasz maximális pozitív eltérése a kívánt értéktől. Itt a kívánt érték az állapotmegmaradó érték.

Állandó állapot hiba: Úgy definiáljuk, mint a tényleges kimenet és a kívánt kimenet közötti különbség, ahogy az idő végtelenhez tart. Most már olyan helyzetben vagyunk, hogy időbeli válasz elemzést végezhetünk egy elsőrendű rendszerre.

Elsőrendű vezérlőrendszer átmeneti és állapotmegmaradó válasza

Vegyük figyelembe az elsőrendű rendszer blokkdiagramját.

Ebből a blokkdiagramból megtalálhatjuk az összefoglaló átviteli függvényt, amely lineáris természetű. Az elsőrendű rendszer átviteli függvénye 1/((sT+1)). Az alábbi standard jelek esetén elemzi a vezérlőrendszer állapotmegmaradó és átmeneti válaszát.

• Egységimpulzus.

• Egységlépés.

• Egységramp.

Egységimpulzus válasz: Az egységimpulzus Laplace-transzformáltja 1. Most adjuk meg ezt a standard bemenetet egy elsőrendű rendszernek, és kapjuk

Most vegyük a fenti egyenlet inverz Laplace-transzformáltját, és kapjuk

Egyértelmű, hogy a vezérlőrendszer állapotmegmaradó válasza csak a T időállandostól függ, és csökkenő jellegű.

Egységlépés válasz: Az egységlépés bemenet Laplace-transzformáltja 1/s. Ezt alkalmazva egy elsőrendű rendszerre, elemzünk a rendszer viselkedésének hatását.

Részletek segítségével, a fenti egyenlet inverz Laplace-transzformáltját véve, kapjuk

Egyértelmű, hogy az időbeli válasz csak a T időállandostól függ. Ebben az esetben a konstans állapot hiba nulla, ha a t határértéket nullához tartjuk.

Egységramp válasz: Az egységimpulzus Laplace-transzformáltja 1/s 2.

Most adjuk meg ezt a standard bemenetet egy elsőrendű rendszernek, és kapjuk

Részletek segítségével, a fenti egyenlet inverz Laplace-transzformáltját véve, kapjuk

Az exponenciális függvény időbeli grafikonjának kirajzolásával kapjuk a T-t, ha a t határértéket nullához tartjuk.

Másodrendű vezérlőrendszer átmeneti és állapotmegmaradó válasza

Vegyük figyelembe a másodrendű rendszer blokkdiagramját.

Ebből a blokkdiagramból megtalálhatjuk az összefoglaló átviteli függvényt, amely nemlineáris természetű. A másodrendű rendszer átviteli függvénye (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Az alábbi standard jelek esetén elemzi a vezérlőrendszer átmeneti válaszát.

Egységimpulzus válasz: Az egységimpulzus Laplace-transzformáltja 1. Most adjuk meg ezt a standard bemenetet egy másodrendű rendszernek, és kapjuk

Ahol, ω a természetes frekvencia rad/sec-ben, és ζ a dämpingarány.

Egységlépés válasz: Az egységimpulzus Laplace-transzformáltja 1/s. Most adjuk meg ezt a standard bemenetet egy elsőrendű rendszernek, és kapjuk

Most látjuk a különböző ζ értékek hatását a válaszon. Három típusú rendszert különböztethetünk meg a ζ különböző értékei alapján.

Aluldämpített rendszer: A dämpingarány (ζ) kisebb, mint egy, ebben az esetben a gyökök komplexek, a valós részek negatívak, biztosítva az aszimptotikus stabilitást és rövidebb emelkedési időt, valamint túlrepülést.

Kritikusan dämpített rendszer: A rendszert kritikusan dämpítetten tekintjük, ha a ζ értéke egy. Ebben az esetben a gyökök valósak, és a valós részek mindig ismétlődőek. A rendszer aszimptotikusan stabil. Az emelkedési idő rövidebb, és nincs véges túlrepülés.

Overdämpített rendszer: A rendszert overdämpítetten tekintjük, ha a ζ értéke nagyobb, mint egy. Ebben az esetben a gyökök valósak és különbözőek, a valós részek mindig negatívak. A rendszer aszimptotikusan stabil. Az emelkedési idő hosszabb, mint a többi rendszernél, és nincs véges túlrepülés.

Folyamatos rezgések: A rendszert folyamatosan rezgőnek tekintjük, ha a zeta értéke nulla. Nincs dämping ebben az esetben.

Most vezessük le a másodrendű rendszer esetén az emelkedési idő, csúcsidő, maximális túlrepülés, beállítási idő és állandó állapot hiba kifejezéseit egy egységlépés bemenettel.

Emelkedési idő: Az emelkedési idő kifejezésének levezetéséhez c(t) = 1-et kell egyenlővé tenni. A fenti egyenletből kapjuk

A fenti egyenlet megoldásával az emelkedési idő kifejezése

Csúcsidő: A c(t) kifejezés differenciálásával meghatározhatjuk a csúcsidőt. dc(t)/ dt = 0, a csúcsidő kifejezése

Maximális túlrepülés: Nyilvánvaló a rajz alapján, hogy a maximális túlrepülés a csúcsidőn, tp-n fordul elő, tehát a csúcsidő értékének behelyettesítésével kapjuk a maximális túlrepülést

Beállítási idő: A beállítási idő a következő kifejezéssel adható meg

Állandó állapot hiba: Az állandó állapot hiba a tényleges kimenet és a kívánt kimenet közötti különbség, tehát a végtelenhez tartó időben az állandó állapot hiba nulla.