अनुकूलन प्रणाली में अस्थिर और स्थिर स्थिति की प्रतिक्रिया

नियंत्रण प्रणाली का अस्थायी प्रतिक्रिया

नाम से स्पष्ट है, नियंत्रण प्रणाली की अस्थायी प्रतिक्रिया में परिवर्तन होता है, इसलिए, यह मुख्य रूप से दो स्थितियों के बाद होती है और ये दो स्थितियाँ निम्नलिखित हैं-

पहली स्थिति : सिस्टम को 'चालू' करने के तुरंत बाद, जिसका अर्थ है कि सिस्टम में इनपुट सिग्नल के आवेदन के समय।

दूसरी स्थिति : किसी भी असामान्य स्थिति के बाद। असामान्य स्थितियाँ लोड में अचानक बदलाव, शॉर्ट सर्किटिंग आदि शामिल हो सकती हैं।

नियंत्रण प्रणाली का स्थिरावस्था प्रतिक्रिया

सिस्टम स्थिर होने के बाद स्थिरावस्था आती है और सिस्टम सामान्य रूप से काम करना शुरू कर देता है। नियंत्रण प्रणाली की स्थिरावस्था प्रतिक्रिया इनपुट सिग्नल का फ़ंक्शन है और इसे बलपूर्वक प्रतिक्रिया भी कहा जाता है।

अब नियंत्रण प्रणाली की अस्थायी स्थिति प्रतिक्रिया यह स्पष्ट रूप से दर्शाती है कि सिस्टम अस्थायी स्थिति में कैसे काम करता है और नियंत्रण प्रणाली की स्थिरावस्था प्रतिक्रिया यह स्पष्ट रूप से दर्शाती है कि सिस्टम स्थिरावस्था में कैसे काम करता है। 

इसलिए दोनों स्थितियों के समय विश्लेषण बहुत महत्वपूर्ण है। हम दोनों प्रकार की प्रतिक्रियाओं का अलग-अलग विश्लेषण करेंगे। चलिए पहले अस्थायी प्रतिक्रिया का विश्लेषण करें। अस्थायी प्रतिक्रिया का विश्लेषण करने के लिए, हमारे पास कुछ समय विशेषण हैं और वे निम्नलिखित हैं:

डेले टाइम: जिसे td द्वारा दर्शाया जाता है, यह मापदंड यह मापता है कि प्रतिक्रिया अपने अंतिम मान का 50% पहली बार पहुंचने में कितना समय लेती है।

राइज टाइम: यह समय tr द्वारा दर्शाया जाता है, और राइज टाइम सूत्र का उपयोग करके इसे कैलकुलेट किया जा सकता है। हम दो मामलों में राइज टाइम को परिभाषित करते हैं:

अपरिपूर्ण डैम्प्ड सिस्टमों में जहाँ ζ का मान एक से कम होता है, इस मामले में राइज टाइम को शून्य मान से अंतिम मान के 100% मान तक पहुंचने में लगने वाला समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

अतिरिक्त डैम्प्ड सिस्टमों में जहाँ ζ का मान एक से अधिक होता है, इस मामले में राइज टाइम को 10% मान से 90% मान तक पहुंचने में लगने वाला समय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

पीक टाइम: यह समय tp द्वारा दर्शाया जाता है। प्रतिक्रिया को पहली बार अपने शिखर मान तक पहुंचने में लगने वाला समय, यह समय पीक टाइम के रूप में जाना जाता है। पीक टाइम समय प्रतिक्रिया विशेषण वक्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

सेटलिंग टाइम: यह समय ts द्वारा दर्शाया जाता है, और सेटलिंग टाइम सूत्र का उपयोग करके इसे कैलकुलेट किया जा सकता है। प्रतिक्रिया को अपने अंतिम मान के (दो प्रतिशत से पांच प्रतिशत) निर्दिष्ट रेंज में पहुंचने और उसमें रहने में लगने वाला समय, यह समय सेटलिंग टाइम के रूप में जाना जाता है। सेटलिंग टाइम समय प्रतिक्रिया विशेषण वक्र में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।

अधिकतम ओवरशूट: इसे (सामान्य रूप से) स्थिरावस्था मान के प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है और इसे प्रतिक्रिया का अपने वांछित मान से अधिकतम धनात्मक विचलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यहाँ वांछित मान स्थिरावस्था मान है।

स्थिरावस्था त्रुटि: यह वास्तविक आउटपुट और वांछित आउटपुट के बीच का अंतर, जब समय अनंत की ओर अग्रसर होता है, के रूप में परिभाषित किया जाता है। अब हम प्रथम क्रम सिस्टम के समय प्रतिक्रिया विश्लेषण के लिए स्थिति में हैं।

प्रथम क्रम नियंत्रण प्रणाली की अस्थायी और स्थिरावस्था प्रतिक्रिया

चलिए प्रथम क्रम सिस्टम के ब्लॉक आरेख को ध्यान में रखें।

इस ब्लॉक आरेख से हम समग्र ट्रांसफर फंक्शन खोज सकते हैं जो रैखिक प्रकृति का है। प्रथम क्रम सिस्टम का ट्रांसफर फंक्शन 1/((sT+1)) है। हम निम्नलिखित मानक सिग्नल के लिए नियंत्रण प्रणाली की स्थिरावस्था और अस्थायी प्रतिक्रिया का विश्लेषण करने जा रहे हैं।

• इकाई इंपल्स।

• इकाई स्टेप।

• इकाई रैंप।

इकाई इंपल्स प्रतिक्रिया : हमारे पास इकाई इंपल्स का लाप्लास ट्रांसफार्म 1 है। अब चलिए इस मानक इनपुट को एक प्रथम क्रम सिस्टम में दें, तो हमारे पास

अब ऊपर दिए गए समीकरण का व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफार्म लेने पर, हमारे पास

यह स्पष्ट है कि नियंत्रण प्रणाली की स्थिरावस्था प्रतिक्रिया केवल समय नियतांक ‘T’ पर निर्भर करती है और यह घटनशील प्रकृति की है।

इकाई स्टेप प्रतिक्रिया: इकाई स्टेप इनपुट के लिए लाप्लास ट्रांसफार्म 1/s है। इसे एक प्रथम क्रम सिस्टम पर लागू करने पर, हम इसके प्रभावों का विश्लेषण करते हैं।

आंशिक भिन्न की मदद से, ऊपर दिए गए समीकरण का व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफार्म लेने पर, हमारे पास

यह स्पष्ट है कि समय प्रतिक्रिया केवल समय नियतांक ‘T’ पर निर्भर करती है। इस मामले में, जब t शून्य की ओर अग्रसर होता है, तो स्थिरावस्था त्रुटि शून्य होती है।

इकाई रैंप प्रतिक्रिया : हमारे पास इकाई इंपल्स का लाप्लास ट्रांसफार्म 1/s 2 है।

अब चलिए इस मानक इनपुट को प्रथम क्रम सिस्टम में दें, तो हमारे पास

आंशिक भिन्न की मदद से, ऊपर दिए गए समीकरण का व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफार्म लेने पर हमारे पास

समय के घातांकीय फंक्शन को प्लाट करने पर, जब t शून्य की ओर अग्रसर होता है, तो हमारे पास ‘T’ होता है।

द्वितीय क्रम नियंत्रण प्रणाली की अस्थायी और स्थिरावस्था प्रतिक्रिया

चलिए द्वितीय क्रम सिस्टम के ब्लॉक आरेख को ध्यान में रखें।

इस ब्लॉक आरेख से हम समग्र ट्रांसफर फंक्शन खोज सकते हैं जो गैर-रैखिक प्रकृति का है। द्वितीय क्रम सिस्टम का ट्रांसफर फंक्शन (ω2) / {s (s + 2ζω )} है। हम निम्नलिखित मानक सिग्नल के लिए नियंत्रण प्रणाली की अस्थायी स्थिति प्रतिक्रिया का विश्लेषण करने जा रहे हैं।

इकाई इंपल्स प्रतिक्रिया : हमारे पास इकाई इंपल्स का लाप्लास ट्रांसफार्म 1 है। अब चलिए इस मानक इनपुट को द्वितीय क्रम सिस्टम में दें, तो हमारे पास

जहाँ, ω रेड/सेकंड में प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ डैम्पिंग अनुपात है।

इकाई स्टेप प्रतिक्रिया : हमारे पास इकाई इंपल्स का लाप्लास ट्रांसफार्म 1/s है। अब चलिए इस मानक इनपुट को प्रथम क्रम सिस्टम में दें, तो हमारे पास

अब हम विभिन्न मानों के लिए ζ के प्रभावों को देखेंगे। हमारे पास ζ के विभिन्न मानों के आधार पर तीन प्रकार की सिस्टमें हैं।