제어 시스템에서의 일시 응답과 정상 상태 응답

제어 시스템의 일시적 응답

이름에서 알 수 있듯이 제어 시스템의 일시적 응답은 변화를 의미하므로, 이는 주로 두 가지 조건 이후에 발생하며, 이 두 가지 조건은 다음과 같이 작성됩니다.

조건 1 : 시스템을 '켜' 직후 즉, 입력 신호가 시스템에 적용될 때.

조건 2 : 어떤 비정상적인 조건 이후. 비정상적인 조건에는 부하의 갑작스러운 변화, 단락 등이 포함될 수 있습니다.

제어 시스템의 정상 상태 응답

정상 상태는 시스템이 안정화된 후에 발생하며, 이때 시스템은 정상적으로 작동하기 시작합니다. 제어 시스템의 정상 상태 응답은 입력 신호의 함수이며, 강제 응답이라고도 합니다.

이제 제어 시스템의 일시적 상태 응답은 일시적 상태 동안 시스템이 어떻게 작동하는지 명확히 설명하고, 제어 시스템의 정상 상태 응답은 정상 상태 동안 시스템이 어떻게 작동하는지 명확히 설명합니다.

따라서 두 상태 모두의 시간 분석은 매우 중요합니다. 우리는 두 유형의 응답을 별도로 분석할 것입니다. 먼저 일시적 응답을 분석해 보겠습니다. 일시적 응답을 분석하기 위해 몇 가지 시간 사양이 있으며, 다음과 같이 작성됩니다:

지연 시간: td로 표시되는 이 지표는 응답이 최종 값의 50%에 도달하는데 걸리는 시간을 측정합니다.

상승 시간: tr로 표시되는 이 시간은 상승 시간 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 우리는 상승 시간을 두 가지 경우로 정의합니다:

저감진 시스템의 경우, ζ의 값이 1보다 작은 경우, 상승 시간은 응답이 0값에서 최종 값의 100%까지 도달하는데 걸리는 시간으로 정의됩니다.

과감진 시스템의 경우, ζ의 값이 1보다 큰 경우, 상승 시간은 응답이 최종 값의 10%에서 90%까지 도달하는데 걸리는 시간으로 정의됩니다.

피크 시간: tp로 표시되는 이 시간은 응답이 처음으로 피크 값에 도달하는데 걸리는 시간입니다. 피크 시간은 시간 응답 사양 곡선에서 명확히 표시됩니다.

정착 시간: ts로 표시되는 이 시간은 정착 시간 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 응답이 최종 값의 약 2%에서 5% 범위 내로 도달하는데 걸리는 시간으로, 이 시간을 정착 시간이라고 합니다. 정착 시간은 시간 응답 사양 곡선에서 명확히 표시됩니다.

최대 오버슈트: 일반적으로 정상 상태 값의 백분율로 표현되며, 응답이 원하는 값에서 최대 양의 편차를 나타냅니다. 여기서 원하는 값은 정상 상태 값입니다.

정상 상태 오차: 시간이 무한대로 접근할 때 실제 출력과 원하는 출력 사이의 차이로 정의됩니다. 이제 우리는 1차 시스템의 시간 응답 분석을 할 준비가 되었습니다.

1차 제어 시스템의 일시적 상태 및 정상 상태 응답

1차 시스템의 블록 다이어그램을 고려해 보겠습니다.

이 블록 다이어그램에서 우리는 선형 특성을 가진 전체 전달 함수를 찾을 수 있습니다. 1차 시스템의 전달 함수는 1/((sT+1))입니다. 우리는 다음 표준 신호에 대한 제어 시스템의 정상 상태 및 일시적 응답을 분석할 것입니다.

• 단위 임펄스.

• 단위 스텝.

• 단위 램프.

단위 임펄스 응답 : 단위 임펄스의 라플라스 변환은 1입니다. 이제 이 표준 입력을 1차 시스템에 주면,

위 식의 역 라플라스 변환을 취하면,

제어 시스템의 정상 상태 응답은 시간 상수 'T'에만 의존하며 감소하는 성질을 가지고 있다는 것이 명확합니다.

단위 스텝 응답: 단위 스텝 입력의 라플라스 변환은 1/s입니다. 이를 1차 시스템에 적용하여 시스템의 행동에 미치는 영향을 분석합니다.

부분 분수를 사용하여 위 식의 역 라플라스 변환을 취하면,

시간 응답은 시간 상수 'T'에만 의존한다는 것이 명확합니다. 이 경우 t가 0으로 접근할 때 정상 상태 오차는 0입니다.

단위 램프 응답 : 단위 임펄스의 라플라스 변환은 1/s²입니다.

이제 이 표준 입력을 1차 시스템에 주면,

부분 분수를 사용하여 위 식의 역 라플라스 변환을 취하면,

시간의 지수 함수를 플롯하면, t가 0으로 접근할 때 'T'를 얻습니다.

2차 제어 시스템의 일시적 상태 및 정상 상태 응답

2차 시스템의 블록 다이어그램을 고려해 보겠습니다.

이 블록 다이어그램에서 우리는 비선형 특성을 가진 전체 전달 함수를 찾을 수 있습니다. 2차 시스템의 전달 함수는 (ω²) / {s (s + 2ζω )}입니다. 우리는 다음 표준 신호에 대한 제어 시스템의 일시적 상태 응답을 분석할 것입니다.

단위 임펄스 응답 : 단위 임펄스의 라플라스 변환은 1입니다. 이제 이 표준 입력을 2차 시스템에 주면,

여기서, ω는 rad/sec의 자연 주파수이고, ζ는 감쇠비입니다.

단위 스텝 응답 : 단위 임펄스의 라플라스 변환은 1/s입니다. 이제 이 표준 입력을 1차 시스템에 주면,

이제 우리는 ζ의 다른 값이 응답에 미치는 영향을 살펴보겠습니다. 우리는 ζ의 다른 값에 따라 세 가지 유형의 시스템이 있습니다.

저감진 시스템: 감쇠비(ζ)가 1보다 작은 것으로 정의되며, 이 시스템은 부정 실수 부분을 가진 복소근을 갖추어 점근적 안정성을 보장하며, 상승 시간이 짧고 일부 오버슈트가 있는 특징을 가지고 있습니다.

임계 감진 시스템 : ζ의 값이 1일 때 시스템은 임계 감진 시스템이라고 합니다. 이 경우 근은 실수이며 항상 반복적인 성질을 가지고 있습니다. 시스템은 점근적으로 안정적이며, 상승 시간이 짧고 유한한 오버슈트가 없습니다.

과감진 시스템 : ζ의 값이 1보다 클 때 시스템은 과감진 시스템이라고 합니다. 이 경우 근은 실수이고 서로 다르며, 실수 부분은 항상 음수입니다. 시스템은 점근적으로 안정적이며, 상승 시간이 다른 시스템보다 길고 유한한 오버슈트가 없습니다.

지속 진동 : ζ의 값이 0일 때 시스템은 지속 진동 시스템이라고 합니다. 이 경우 감쇠가 발생하지 않습니다.

이제 2차 시스템에 대한 단위 스텝 입력에 대해 상승 시간, 피크 시간, 최대 오버슈트, 정착 시간 및 정상 상태 오차의 식을 유도해 보겠습니다.

상승 시간 : 상승 시간의 식을 유도하기 위해서는 c(t) = 1로 설정해야 합니다. 위 식에서

위 식을 풀면 상승 시간은 다음과 같습니다.

피크 시간 : c(t)의 식을 미분하여 피크 시간의 식을 얻을 수 있습니다. dc(t)/ dt = 0에서 피크 시간의 식은 다음과 같습니다.

최대 오버슈트 : 그림에서 알 수 있듯이 최대 오버슈트는 피크 시간 tp에서 발생합니다. 따라서 피크 시간 값을 대입하면 최대 오버슈트는 다음과 같습니다.

정착 시간 : 정착 시간은 다음과 같은 식으로 주어집니다.

정상 상태 오차 : 정상 상태 오차는 실제 출력과 원하는 출력 사이의 차이로, 시간이 무한대로 접근할 때 정상 상태 오차는 0입니다.