Overgangs- og stasjonær tilstandssvar i et styresystem

Overgangsrespons av styresystem

Som navnet antyder, betyr overgangsresponsen av et styresystem at det endrer seg, noe som skjer hovedsakelig etter to forhold, og disse to forholdene er skrevet som følger:

Forhold ett : Nåret systemet slås på, altså ved tiden da inngangssignalet blir gitt til systemet.

Forhold to : Nåret det oppstår noen uvanlige forhold. Uvanlige forhold kan inkludere plutselige endringer i belastningen, kortslutning osv.

Stabiltilstandens respons av styresystem

Stabiltilstand forekommer etter at systemet har stabilisert seg, og systemet begynner å fungere normalt. Stabiltilstandens respons av styresystemet er en funksjon av inngangssignalet, og den kalles også for tvungen respons.

Nå overgangsresponsen av styresystemet gir en klar beskrivelse av hvordan systemet fungerer under overgangstillstand, mens stabiltilstandens respons av styresystemet gir en klar beskrivelse av hvordan systemet fungerer under stabiltilstand. 

Derfor er tidsanalyse av begge tilstander viktig. Vi vil analysere begge typer responser separat. La oss først analysere overgangsresponsen. For å analysere overgangsresponsen, har vi noen tidsparametre, og de er skrevet som følger:

Forsinketid: Representeres med td, denne måleenheten måler hvor lang tid det tar responsen å nå femti prosent av sin sluttpverdi for første gang.

Oppstigetid: Denne tiden representeres med tr, og kan beregnes ved hjelp av formelen for oppstigetid. Vi definerer oppstigetid i to tilfeller:

I tilfelle underdempede systemer der verdien av ζ er mindre enn én, defineres oppstigetiden som tiden det tar responsen å gå fra nullverdi til hundre prosent av sluttpverdien.

I tilfelle overdempede systemer der verdien av ζ er større enn én, defineres oppstigetiden som tiden det tar responsen å gå fra ti prosent verdi til nitti prosent av sluttpverdien.

Toppunktstid: Denne tiden representeres med tp. Tiden det tar responsen å nå toppverdien for første gang, kalles denne tiden for toppunktstid. Toppunktstid er klart vist i tidsresponsens spesifikasjonskurve.

Innstillingstid: Denne tiden representeres med ts, og kan beregnes ved hjelp av formelen for innstillingstid. Tiden det tar responsen å nå og være innen angitt område (to til fem prosent) av sin sluttpverdi for første gang, kalles denne tiden for innstillingstid. Innstillingstid er klart vist i tidsresponsens spesifikasjonskurve.

Maksimal overskyting: Det uttrykkes (i alminnelighet) i prosent av stabiltilstandens verdi, og det defineres som maksimal positive avvik fra responsens ønskede verdi. Her er ønsket verdi stabiltilstandens verdi.

Stabiltilstandsfeil: Definert som forskjellen mellom den faktiske utgangen og den ønskede utgangen når tiden nærmer seg uendelig. Nå er vi i posisjon til å gjøre en tidsresponsanalyse av et førstegradssystem.

Overgangs- og stabiltilstandsrespons av førstegradsstyresystem

La oss betrakte blokkdiagrammet for det førstegradssystemet.

Fra dette blokkdiagrammet kan vi finne den totale overføringsfunksjonen, som er lineær i naturen. Overføringsfunksjonen for det førstegradssystemet er 1/((sT+1)). Vi skal analysere stabil- og overgangsresponsen av styresystemet for følgende standardsignal.

• Enhetimpuls.

• Enhettrinn.

• Enhetrampe.

Enhetimpulsrespons : Vi har Laplace-transformasjonen av enhetimpulsen er 1. La oss nå gi dette standardinngangssignalet til et førstegradssystem, vi har

Nå ved å ta invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen, har vi

Det er klart at stabiltilstandsresponsen av styresystemet avhenger bare av tidskonstanten 'T' og den er avtagende i naturen.

Enhettrinnrespons: Laplace-transformasjonen for enhettrinninngangen er 1/s. Ved å bruke dette på et førstegradssystem, analyserer vi effekten av dette på systemets oppførsel.

Ved hjelp av partiel brøk, ved å ta invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen, har vi

Det er klart at tidsresponsen avhenger bare av tidskonstanten 'T'. I dette tilfellet er stabiltilstandsfeilen null ved å sette grensen t går mot null.

Enhetramprespons : Vi har Laplace-transformasjonen av enhetimpulsen er 1/s 2.

La oss nå gi dette standardinngangssignalet til et førstegradssystem, vi har

Ved hjelp av partiel brøk, ved å ta invers Laplace-transformasjon av den ovennevnte ligningen, har vi

Ved å plotte eksponentialfunksjonen av tid, har vi 'T' ved å sette grensen t går mot null.

Overgangs- og stabiltilstandsrespons av andregradsstyresystem

La oss betrakte blokkdiagrammet for det andregradssystemet.

Fra dette blokkdiagrammet kan vi finne den totale overføringsfunksjonen, som er ikke-lineær i naturen. Overføringsfunksjonen for det andregradssystemet er (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Vi skal analysere overgangsresponsen av styresystemet for følgende standardsignal.

Enhetimpulsrespons : Vi har Laplace-transformasjonen av enhetimpulsen er 1. La oss nå gi dette standardinngangssignalet til et andregradssystem, vi har

Hvor, ω er naturlig frekvens i rad/sec og ζ er dempingsforhold.

Enhettrinnrespons : Vi har Laplace-transformasjonen av enhetimpulsen er 1/s. La oss nå gi dette standardinngangssignalet til et førstegradssystem, vi har

Nå skal vi se effekten av ulike verdier av ζ på responsen. Vi har tre typer systemer basert på ulike verdier av ζ.

Underdempet system: Definert av et dempingsforhold (ζ) mindre enn én, dette systemet har komplekse røtter med negative reelle deler, som sikrer asymptotisk stabilitet og en kortere oppstigetid med noen overskyting.

Kritisk dempet system : Et system kalles kritisk dempet system når verdien av ζ er én. I dette tilfellet er røttene reelle i naturen, og de reelle delene er alltid repetitiv i naturen. Systemet er asymptotisk stabilt. Oppstigetiden er kortere i dette systemet, og det er ingen tilstedeværelse av endelig overskyting.

Overdempet system : Et system kalles overdempet system når verdien av ζ er større enn én. I dette tilfellet er røttene reelle og distinkte i naturen, og de reelle delene er alltid negative. Systemet er asymptotisk stabilt. Oppstigetiden er lengre enn andre systemer, og det er ingen tilstedeværelse av endelig overskyting.

Varige svingninger : Et system kalles varig dempet system når verdien av zeta er null. Det forekommer ingen demping i dette tilfellet.

La oss nå utlede uttrykkene for oppstigetid, toppunktstid, maksimal overskyting, innstillingstid og stabiltilstandsfeil med en enhettrinninngang for et andregradssystem.

Oppstigetid : For å utlede uttrykket for oppstigetid må vi likestille uttrykket for c(t) = 1. Fra ovenstående har vi

Ved å løse den ovennevnte ligningen har vi uttrykket for oppstigetid lik

Toppunktstid : Ved å derivere uttrykket for c(t) kan vi få uttrykket for toppunktstid. dc(t)/ dt = 0, vi har uttrykket for toppunktstid,

Maksimal overskyting : Det er klart fra figuren at maksimal overskyting vil oppstå ved toppunktstid tp, så ved å sette verdien av toppunktstid får vi maksimal overskyting som

Innstillingstid : Innstillingstid er gitt ved uttrykket

Stabiltilstandsfeil : Stabiltilstandsfeilen er differansen mellom den faktiske utgangen og den ønskede utgangen, så når tiden nærmer seg uendelig, er stabiltilstandsfeilen null.