Respuesta Transitoria y de Estado Estable en un Sistema de Control

Respuesta Transitoria del Sistema de Control

Como su nombre indica, la respuesta transitoria del sistema de control significa cambio, lo que ocurre principalmente después de dos condiciones, y estas dos condiciones se escriben a continuación:

Condición uno : Inmediatamente después de encender el sistema, es decir, en el momento de la aplicación de una señal de entrada al sistema.

Condición dos : Inmediatamente después de cualquier condición anormal. Las condiciones anormales pueden incluir un cambio repentino en la carga, cortocircuitos, etc.

Respuesta Estacionaria del Sistema de Control

La estabilidad se produce después de que el sistema se asienta y comienza a funcionar normalmente. La respuesta estacionaria del sistema de control es una función de la señal de entrada y también se conoce como respuesta forzada.

Ahora, la respuesta transitoria del sistema de control da una descripción clara de cómo funciona el sistema durante el estado transitorio y la respuesta estacionaria del sistema de control da una descripción clara de cómo funciona el sistema durante el estado estacionario. 

Por lo tanto, el análisis temporal de ambos estados es muy esencial. Analizaremos por separado ambos tipos de respuestas. Comencemos analizando la respuesta transitoria. Para analizar la respuesta transitoria, tenemos algunas especificaciones de tiempo y se escriben a continuación:

Tiempo de Retardo: Representado por td, esta métrica mide cuánto tarda la respuesta en alcanzar el cincuenta por ciento de su valor final por primera vez.

Tiempo de Ascenso: Este tiempo se representa por tr, y se puede calcular utilizando la fórmula de tiempo de ascenso. Definimos el tiempo de ascenso en dos casos:

En el caso de sistemas subamortiguados, donde el valor de ζ es menor que uno, en este caso, el tiempo de ascenso se define como el tiempo necesario para que la respuesta pase de cero al cien por ciento del valor final.

En el caso de sistemas sobreamortiguados, donde el valor de ζ es mayor que uno, en este caso, el tiempo de ascenso se define como el tiempo necesario para que la respuesta pase del diez por ciento al noventa por ciento del valor final.

Tiempo Pico: Este tiempo se representa por tp. El tiempo necesario para que la respuesta alcance el valor pico por primera vez, este tiempo se conoce como tiempo pico. El tiempo pico se muestra claramente en la curva de especificaciones de respuesta temporal.

Tiempo de Estabilización: Este tiempo se representa por ts, y se puede calcular utilizando la fórmula de tiempo de estabilización. El tiempo necesario para que la respuesta alcance y permanezca dentro del rango especificado (de dos por ciento a cinco por ciento) de su valor final por primera vez, este tiempo se conoce como tiempo de estabilización. El tiempo de estabilización se muestra claramente en la curva de especificaciones de respuesta temporal.

Sobrepaso Máximo: Se expresa (en general) en porcentaje del valor estacionario y se define como la desviación positiva máxima de la respuesta respecto a su valor deseado. Aquí, el valor deseado es el valor estacionario.

Error Estacionario: Definido como la diferencia entre la salida real y la salida deseada cuando el tiempo tiende a infinito. Ahora estamos en posición de realizar un análisis de respuesta temporal de un sistema de primer orden.

Respuesta Transitoria y Estacionaria del Sistema de Control de Primer Orden

Consideremos el diagrama de bloques del sistema de primer orden.

A partir de este diagrama de bloques, podemos encontrar la función de transferencia global, que es lineal. La función de transferencia del sistema de primer orden es 1/((sT+1)). Vamos a analizar la respuesta estacionaria y transitoria del sistema de control para las siguientes señales estándar.

• Impulso unitario.

• Paso unitario.

• Rampa unitaria.

Respuesta al impulso unitario : Tenemos la transformada de Laplace del impulso unitario es 1. Ahora, demos esta entrada estándar a un sistema de primer orden, tenemos

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, tenemos

Es claro que la respuesta estacionaria del sistema de control depende solo de la constante de tiempo 'T' y es de naturaleza decreciente.

Respuesta al paso unitario: La transformada de Laplace para la entrada de paso unitario es 1/s. Al aplicar esto a un sistema de primer orden, analizamos sus efectos en el comportamiento del sistema.

Con la ayuda de fracciones parciales, tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, tenemos

Es claro que la respuesta temporal depende solo de la constante de tiempo 'T'. En este caso, el error estacionario es cero al poner el límite t tiende a cero.

Respuesta a la rampa unitaria : Tenemos la transformada de Laplace de la rampa unitaria es 1/s 2.

Ahora, demos esta entrada estándar a un sistema de primer orden, tenemos

Con la ayuda de fracciones parciales, tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, tenemos

Al trazar la función exponencial del tiempo, tenemos 'T' al poner el límite t tiende a cero.

Respuesta Transitoria y Estacionaria del Sistema de Control de Segundo Orden

Consideremos el diagrama de bloques del sistema de segundo orden.

A partir de este diagrama de bloques, podemos encontrar la función de transferencia global, que es no lineal. La función de transferencia del sistema de segundo orden es (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Vamos a analizar la respuesta transitoria del sistema de control para las siguientes señales estándar.

Respuesta al impulso unitario : Tenemos la transformada de Laplace del impulso unitario es 1. Ahora, demos esta entrada estándar a un sistema de segundo orden, tenemos

Donde, ω es la frecuencia natural en rad/seg y ζ es la razón de amortiguación.

Respuesta al paso unitario : Tenemos la transformada de Laplace del impulso unitario es 1/s. Ahora, demos esta entrada estándar a un sistema de primer orden, tenemos

Ahora veremos el efecto de diferentes valores de ζ en la respuesta. Tenemos tres tipos de sistemas según los diferentes valores de ζ.

Sistema Subamortiguado: Definido por una razón de amortiguación (ζ) menor que uno, este sistema presenta raíces complejas con partes reales negativas, asegurando estabilidad asintótica y un tiempo de ascenso más corto con algún sobrepaso.

Sistema Críticamente Amortiguado : Un sistema se dice críticamente amortiguado cuando el valor de ζ es uno. En este caso, las raíces son reales y siempre repetitivas. El sistema es asintóticamente estable. El tiempo de ascenso es menor en este sistema y no hay presencia de sobrepaso finito.

Sistema Sobreamortiguado : Un sistema se dice sobreamortiguado cuando el valor de ζ es mayor que uno. En este caso, las raíces son reales y distintas, y las partes reales siempre son negativas. El sistema es asintóticamente estable. El tiempo de ascenso es mayor que en otros sistemas y no hay presencia de sobrepaso finito.

Oscilaciones Sostenidas : Un sistema se dice sostenidamente amortiguado cuando el valor de zeta es cero. No ocurre amortiguación en este caso.

Ahora, derivemos las expresiones para el tiempo de ascenso, el tiempo pico, el sobrepaso máximo, el tiempo de estabilización y el error estacionario con una entrada de paso unitario para un sistema de segundo orden.

Tiempo de Ascenso : Para derivar la expresión del tiempo de ascenso, debemos igualar la expresión de c(t) = 1. De lo anterior, tenemos

Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos la expresión para el tiempo de ascenso igual a

Tiempo Pico : Diferenciando la expresión de c(t), podemos obtener la expresión para el tiempo pico. dc(t)/ dt = 0, obtenemos la expresión para el tiempo pico,

Sobrepaso Máximo : Ahora, es claro a partir de la figura que el sobrepaso máximo ocurrirá en el tiempo pico tp, por lo que al introducir el valor del tiempo pico, obtendremos el sobrepaso máximo como

Tiempo de Estabilización : El tiempo de estabilización se da por la expresión

Error Estacionario : El error estacionario es la diferencia entre la salida real y la salida deseada, por lo que al tender el tiempo a infinito, el error estacionario es cero.