پاسخ موقت و پایدار در سیستم کنترل

کنترل سیستم پاسخ موقت

همان‌طور که از نامش پیداست، پاسخ موقت سیستم کنترل به معنای تغییر است. این وضعیت در دو شرط اصلی رخ می‌دهد و این دو شرط به صورت زیر نوشته شده‌اند:

شرط اول : دقیقاً بعد از روشن کردن سیستم، یعنی در زمان اعمال سیگنال ورودی به سیستم.

شرط دوم : دقیقاً بعد از هر شرایط غیرمعمول. شرایط غیرمعمول ممکن است شامل تغییر ناگهانی بار، خازنه‌سازی و غیره باشد.

پاسخ حالت ماندگار سیستم کنترل

حالت ماندگار پس از آن رخ می‌دهد که سیستم مستقر شده و شروع به کار به طور عادی می‌کند. پاسخ حالت ماندگار سیستم کنترل تابعی از سیگنال ورودی است و به عنوان پاسخ اجباری نیز شناخته می‌شود.

حالا پاسخ موقت سیستم کنترل توصیف واضحی از نحوه عملکرد سیستم در حالت موقت و پاسخ حالت ماندگار سیستم کنترل توصیف واضحی از نحوه عملکرد سیستم در حالت ماندگار ارائه می‌دهد.

بنابراین تجزیه و تحلیل زمانی هر دو حالت بسیار ضروری است. ما به طور جداگانه هر دو نوع پاسخ را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. ابتدا پاسخ موقت را تجزیه و تحلیل کنیم. برای تجزیه و تحلیل پاسخ موقت، ما بعضی مشخصات زمانی داریم و آنها به صورت زیر نوشته شده‌اند:

زمان تأخیر : با td نمایش داده می‌شود، این معیار اندازه‌گیری می‌کند که چقدر طول می‌کشد تا پاسخ به ۵۰٪ از مقدار نهایی خود برای اولین بار برسد.

زمان بالا رفتن : این زمان با tr نمایش داده می‌شود و می‌توان آن را با استفاده از فرمول زمان بالا رفتن محاسبه کرد. ما زمان بالا رفتن را در دو حالت تعریف می‌کنیم:

در حالت سیستم‌های کم‌دیمپ شده که مقدار ζ کمتر از یک است، در این حالت زمان بالا رفتن به عنوان زمان لازم برای رسیدن پاسخ از مقدار صفر به ۱۰۰٪ مقدار نهایی تعریف می‌شود.

در حالت سیستم‌های بیش‌دیمپ شده که مقدار ζ بیشتر از یک است، در این حالت زمان بالا رفتن به عنوان زمان لازم برای رسیدن پاسخ از ۱۰٪ مقدار نهایی به ۹۰٪ مقدار نهایی تعریف می‌شود.

زمان قله : این زمان با tp نمایش داده می‌شود. زمان لازم برای رسیدن پاسخ به مقدار قله برای اولین بار، این زمان به عنوان زمان قله شناخته می‌شود. زمان قله به وضوح در منحنی مشخصات پاسخ زمانی نشان داده می‌شود.

زمان تنظیم : این زمان با ts نمایش داده می‌شود و می‌توان آن را با استفاده از فرمول زمان تنظیم محاسبه کرد. زمان لازم برای رسیدن پاسخ به محدوده مشخص حدود (۲٪ تا ۵٪) از مقدار نهایی برای اولین بار، این زمان به عنوان زمان تنظیم شناخته می‌شود. زمان تنظیم به وضوح در منحنی مشخصات پاسخ زمانی نشان داده می‌شود.

بیشترین ابرسی : این مقدار به طور کلی به صورت درصد از مقدار حالت ماندگار بیان می‌شود و به عنوان بیشترین انحراف مثبت پاسخ از مقدار مورد نظر تعریف می‌شود. در اینجا مقدار مورد نظر مقدار حالت ماندگار است.

خطای حالت ماندگار : به عنوان تفاوت بین خروجی واقعی و خروجی مورد نظر در زمانی که به بی‌نهایت میل می‌کند تعریف می‌شود. حالا ما در موقعیتی هستیم که تجزیه و تحلیل پاسخ زمانی یک سیستم مرتبه اول انجام دهیم.

پاسخ موقت و حالت ماندگار سیستم کنترل مرتبه اول

بیایید دیاگرام بلوکی سیستم مرتبه اول را در نظر بگیریم.

از این دیاگرام بلوکی می‌توانیم تابع انتقال کلی را که خطی است پیدا کنیم. تابع انتقال سیستم مرتبه اول ۱/((sT+1)) است. ما قصد داریم پاسخ حالت ماندگار و موقت سیستم کنترل را برای سیگنال‌های استاندارد زیر تجزیه و تحلیل کنیم.

• پالس واحد.

• قدم واحد.

• ریمپ واحد.

پاسخ پالس واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱ داریم. حالا بیایید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

حالا با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق، ما داریم

به وضوح مشاهده می‌شود که پاسخ حالت ماندگار سیستم کنترل فقط به ثابت زمانی 'T' بستگی دارد و از نوع ناپایدار است.

پاسخ قدم واحد : تبدیل لاپلاس برای ورودی قدم واحد ۱/s است. با اعمال این ورودی به یک سیستم مرتبه اول، ما تأثیرات آن را بر رفتار سیستم تجزیه و تحلیل می‌کنیم.

با کمک کسرهای جزئی، با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق، ما داریم

به وضوح مشاهده می‌شود که پاسخ زمانی فقط به ثابت زمانی 'T' بستگی دارد. در این حالت خطای حالت ماندگار صفر است با گذاشتن حد t به صفر میل می‌کند.

پاسخ ریمپ واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱/s^2 داریم.

حالا بیایید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

با کمک کسرهای جزئی، با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق ما داریم

با رسم تابع نمایی زمانی ما 'T' را با گذاشتن حد t به صفر میل می‌کند.

پاسخ موقت و حالت ماندگار سیستم کنترل مرتبه دوم

بیایید دیاگرام بلوکی سیستم مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

از این دیاگرام بلوکی می‌توانیم تابع انتقال کلی را که غیرخطی است پیدا کنیم. تابع انتقال سیستم مرتبه دوم (ω^2) / {s (s + 2ζω )} است. ما قصد داریم پاسخ موقت سیستم کنترل را برای سیگنال‌های استاندارد زیر تجزیه و تحلیل کنیم.

پاسخ پالس واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱ داریم. حالا بیایید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه دوم بدهیم، ما داریم

که ω فرکانس طبیعی در رادیان/ثانیه و ζ نسبت دیمپ است.

پاسخ قدم واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱/s داریم. حالا بیایید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

حالا ما تأثیر مقادیر مختلف ζ را بر پاسخ خواهیم دید. ما سه نوع سیستم بر اساس مقادیر مختلف ζ داریم.

سیستم کم‌دیمپ شده : با نسبت دیمپ (ζ) کمتر از یک تعریف می‌شود. این سیستم دارای ریشه‌های مختلط با بخش‌های حقیقی منفی است که پایداری مجانبی را تضمین می‌کند و زمان بالا رفتن کوتاه‌تر با برخی ابرسی است.

سیستم بحرانی دیمپ شده : یک سیستم وقتی بحرانی دیمپ شده است که مقدار ζ یک باشد. در این حالت ریشه‌ها حقیقی هستند و بخش‌های حقیقی همیشه تکراری هستند. سیستم پایداری مجانبی است. زمان بالا رفتن در این سیستم کمتر است و وجود ابرسی محدود است.

سیستم بیش‌دیمپ شده : یک سیستم وقتی بیش‌دیمپ شده است که مقدار ζ بیشتر از یک باشد. در این حالت ریشه‌ها حقیقی و متمایز هستند و بخش‌های حقیقی همیشه منفی هستند. سیستم پایداری مجانبی است. زمان بالا رفتن بیشتر از سیستم‌های دیگر است و وجود ابرسی محدود است.

نوسانات پایدار : یک سیستم وقتی نوسانات پایدار است که مقدار zeta صفر باشد. در این حالت دیمپ وجود ندارد.

حالا بیایید عبارات برای زمان بالا رفتن، زمان قله، بیشترین ابرسی، زمان تنظیم و خطای حالت ماندگار با ورودی قدم واحد برای سیستم مرتبه دوم به دست آوریم.

زمان بالا رفتن : برای به دست آوردن عبارت زمان بالا رفتن باید c(t) = 1 قرار دهیم. از بالا داریم

با حل معادله فوق عبارت زمان بالا رفتن برابر است با

زمان قله : با مشتق گیری از عبارت c(t) می‌توانیم عبارت زمان قله را به دست آوریم. dc(t)/ dt = 0 عبارت زمان قله را داریم

بیشترین ابرسی : حالا به وضوح از شکل مشاهده می‌شود که بیشترین ابرسی در زمان قله tp رخ می‌دهد. با قرار دادن مقدار زمان قله مقدار بیشترین ابرسی به دست می‌آید

زمان تنظیم : زمان تنظیم با عبارت زیر داده می‌شود

خطای حالت ماندگار : خطای حالت ماندگار تفاوت بین خروجی واقعی و خروجی مورد نظر است. بنابراین در زمانی که به بی‌نهایت میل می‌کند خطای حالت ماندگار صفر است.