الاستجابة العابرة والاستجابة الثابتة في نظام التحكم

رد فعل عابر لنظام التحكم

كما يوحي الاسم، فإن رد فعل عابر لنظام التحكم يعني التغيير، وهذا يحدث بشكل أساسي بعد ظروفين وهذه الظروف مكتوبة كالتالي-

الحالة الأولى : فور تشغيل النظام، أي عند تطبيق إشارة الإدخال على النظام.

الحالة الثانية : فور حدوث أي ظروف غير طبيعية. قد تشمل الظروف غير الطبيعية تغيرًا مفاجئًا في الحمل أو قصر الدائرة وغيرها.

رد فعل الحال المستقر لنظام التحكم

يحدث الحال المستقر بعد أن يستقر النظام ويبدأ في العمل بشكل طبيعي. رد فعل الحال المستقر لنظام التحكم هو دالة لإشارة الإدخال ويعتبر أيضًا الرد المforced.

الآن، رد فعل العبور لنظام التحكم يعطي وصفاً واضحاً لكيفية عمل النظام خلال الحالة العابرة، بينما رد فعل الحال المستقر لنظام التحكم يعطي وصفاً واضحاً لكيفية عمل النظام خلال الحال المستقر. 

لذلك، فإن تحليل الوقت لكلا الحالتين أمر ضروري للغاية. سنقوم بتحليل كل نوع من الردود بشكل منفصل. دعونا نبدأ بتحليل رد الفعل العابر. لتحليل رد الفعل العابر، لدينا بعض المواصفات الزمنية وهي مكتوبة كالتالي:

وقت التأخير : يُمثل بواسطة td، هذا المقياس يقيس كم من الوقت يستغرق الرد للوصول إلى خمسين بالمائة من قيمته النهائية لأول مرة.

وقت الصعود : يتم تمثيل هذا الوقت بواسطة tr، ويمكن حسابه باستخدام صيغة وقت الصعود. نحدد وقت الصعود في حالتين:

في حالة الأنظمة ذات الرجوع الخفيف حيث قيمة ζ أقل من واحد، في هذه الحالة يتم تعريف وقت الصعود بأنه الوقت اللازم للرد للانتقال من قيمة صفرية إلى مائة بالمائة من القيمة النهائية.

في حالة الأنظمة ذات الرجوع الشديد حيث قيمة ζ أكبر من واحد، في هذه الحالة يتم تعريف وقت الصعود بأنه الوقت اللازم للرد للانتقال من عشرة بالمائة إلى تسعين بالمائة من القيمة النهائية.

وقت الذروة : يتم تمثيل هذا الوقت بواسطة tp. الوقت اللازم للرد للوصول إلى القيمة القصوى لأول مرة، يعرف هذا الوقت باسم وقت الذروة. يتم عرض وقت الذروة بوضوح في منحنى مواصفات الرد الزمني.

وقت الاستقرار : يتم تمثيل هذا الوقت بواسطة ts، ويمكن حسابه باستخدام صيغة وقت الاستقرار. الوقت اللازم للرد للوصول إلى نطاق محدد حوالي (من اثنين إلى خمسة بالمائة) من قيمته النهائية لأول مرة، يعرف هذا الوقت باسم وقت الاستقرار. يتم عرض وقت الاستقرار بوضوح في منحنى مواصفات الرد الزمني.

التجاوز الأقصى : يتم التعبير عنه (بشكل عام) كنسبة مئوية من القيمة المستقرة ويتم تعريفه كأكبر انحراف موجب للرد عن قيمته المرغوبة. هنا، القيمة المرغوبة هي القيمة المستقرة.

خطأ الحال المستقر : يتم تعريفه كفرق بين الإخراج الفعلي والإخراج المرغوب عندما يتجه الوقت إلى اللانهاية. الآن نحن جاهزون لتحليل الرد الزمني لنظام من الدرجة الأولى.

رد فعل الحالة العابرة والحالة المستقرة لنظام التحكم من الدرجة الأولى

لنفترض مخطط الكتلة لنظام الدرجة الأولى.

من هذا المخطط يمكننا إيجاد الدالة التحويلية الكلية والتي تكون خطية بطبيعتها. الدالة التحويلية لنظام الدرجة الأولى هي 1/((sT+1)). سنقوم بتحليل الرد المستقر والعابر لنظام التحكم لهذه الإشارات القياسية.

• النبضة الوحدوية.

• الخطوة الوحدوية.

• المائل الوحدوي.

رد فعل النبضة الوحدوية : لدينا تحويل لابلاس للنبضة الوحدوية هو 1. الآن دعنا نعطي هذا الإدخال القياسي لنظام الدرجة الأولى، لدينا

الآن بالأخذ بتحويل لابلاس العكسي للمعادلة أعلاه، لدينا

من الواضح أن الرد المستقر لنظام التحكم يعتمد فقط على الثابت الزمني 'T' وهو يتراجع بطبيعته.

رد فعل الخطوة الوحدوية : تحويل لابلاس للخطوة الوحدوية هو 1/s. عند تطبيق هذا على نظام الدرجة الأولى، نقوم بتحليل آثاره على سلوك النظام.

مع مساعدة من الكسور الجزئية، بالأخذ بتحويل لابلاس العكسي للمعادلة أعلاه، لدينا

من الواضح أن الرد الزمني يعتمد فقط على الثابت الزمني 'T'. في هذه الحالة يكون الخطأ المستقر صفراً بوضع حد t يتجه إلى الصفر.

رد فعل المائل الوحدوي : لدينا تحويل لابلاس للنبضة الوحدوية هو 1/s².

الآن دعنا نعطي هذا الإدخال القياسي لنظام الدرجة الأولى، لدينا

مع مساعدة من الكسور الجزئية، بالأخذ بتحويل لابلاس العكسي للمعادلة أعلاه، لدينا

عند رسم الدالة الأسية للوقت، لدينا 'T' بوضع حد t يتجه إلى الصفر.

رد فعل الحالة العابرة والحالة المستقرة لنظام التحكم من الدرجة الثانية

لنفترض مخطط الكتلة لنظام الدرجة الثانية.

من هذا المخطط يمكننا إيجاد الدالة التحويلية الكلية والتي تكون غير خطية بطبيعتها. الدالة التحويلية لنظام الدرجة الثانية هي (ω²) / {s (s + 2ζω )}. سنقوم بتحليل الرد العابر لنظام التحكم لهذه الإشارات القياسية.

رد فعل النبضة الوحدوية : لدينا تحويل لابلاس للنبضة الوحدوية هو 1. الآن دعنا نعطي هذا الإدخال القياسي لنظام الدرجة الثانية، لدينا

حيث ω هي التردد الطبيعي بالراديان/ثانية وζ هي نسبة الرجوع.

رد فعل الخطوة الوحدوية : لدينا تحويل لابلاس للنبضة الوحدوية هو 1/s. الآن دعنا نعطي هذا الإدخال القياسي لنظام الدرجة الأولى، لدينا

الآن سنرى تأثير قيم مختلفة من ζ على الرد. لدينا ثلاثة أنواع من الأنظمة بناءً على قيم مختلفة من ζ.

نظام الرجوع الخفيف : يتم تعريفه بنسبة رجوع (ζ) أقل من واحد، هذا النظام يتميز بجذور معقدة بأجزاء حقيقية سالبة، مما يضمن الاستقرار التقارب والوقت القصير للصعود مع بعض التجاوز.

نظام الرجوع الحرجة : يعتبر النظام رجوع حرجة عندما تكون قيمة ζ واحدة. في هذه الحالة تكون الجذور حقيقية بطبيعتها والأجزاء الحقيقية دائماً متكررة. النظام مستقر تقاربياً. وقت الصعود أقل في هذا النظام ولا يوجد تجاوز محدود.

نظام الرجوع الشديد : يعتبر النظام رجوع شديد عندما تكون قيمة ζ أكبر من واحد. في هذه الحالة تكون الجذور حقيقية ومميزة والأجزاء الحقيقية دائماً سالبة. النظام مستقر تقاربياً. وقت الصعود أكبر من الأنظمة الأخرى ولا يوجد تجاوز محدود.

الاهتزازات المستمرة : يعتبر النظام رجوع مستمر عندما تكون قيمة zeta صفر. لا يحدث أي رجوع في هذه الحالة.

الآن دعنا نستنتج المعادلات لوقت الصعود، وقت الذروة، التجاوز الأقصى، وقت الاستقرار والخطأ المستقر بإدخال الخطوة الوحدوية لنظام الدرجة الثانية.

وقت الصعود : لاستنتاج المعادلة لوقت الصعود علينا مساواة المعادلة c(t) = 1. من الأعلى لدينا

بعد حل المعادلة أعلاه نحصل على معادلة لوقت الصعود تساوي

وقت الذروة : عن طريق تفاضل معادلة c(t) يمكننا الحصول على معادلة وقت الذروة. dc(t)/ dt = 0 لدينا معادلة لوقت الذروة،

التجاوز الأقصى : من الواضح من الشكل أن التجاوز الأقصى سيحدث عند وقت الذروة tp لذلك عند وضع قيمة وقت الذروة سنحصل على التجاوز الأقصى كـ

وقت الاستقرار : يعطى وقت الاستقرار بالمعادلة

الخطأ المستقر : الخطأ المستقر هو الفرق بين الإخراج الفعلي والإخراج المرغوب وبالتالي عند اقتراب الوقت من اللانهاية يكون الخطأ المستقر صفراً.