Tugon ng Transient at Steady State sa isang Control System

Transient Response ng Control System

Bilang ang pangalan ay nagsasabi, ang transient response ng control system ay nangangahulugan ng pagbabago, kaya ito'y nangyayari pangunahin pagkatapos ng dalawang kondisyon at ang dalawang kondisyong ito ay isinulat bilang sumusunod-

Unang kondisyon : Kabuuang pagkapag-encounter ng 'on' ng sistema, na ibig sabihin noong panahon ng pag-apply ng isang input signal sa sistema.

Pangalawang kondisyon : Kabuuang pagkapag-encounter ng anumang abnormal na kondisyon. Ang mga abnormal na kondisyon maaaring kasama ang biglaang pagbabago sa load, short circuiting, atbp.

Steady State Response ng Control System

Ang steady state ay nangyayari pagkatapos na matiyak ang sistema at sa steady state ang sistema ay magsisimula ng normal na paggana. Ang steady state response ng control system ay isang function ng input signal at ito rin ay tinatawag na forced response.

Ngayon, ang transient state response ng control system ay nagbibigay ng malinaw na paglalarawan kung paano gumagana ang sistema sa transient state at ang steady state response ng control system ay nagbibigay ng malinaw na paglalarawan kung paano gumagana ang sistema sa steady state. 

Kaya ang pagsusuri ng oras ng parehong estado ay napaka mahalaga. Ating sasalamin ng hiwalay ang parehong uri ng mga tugon. Unawain natin muna ang transient response. Upang masusunod ang transient response, mayroon tayo ilang petsa ng oras at sila ay isinulat bilang sumusunod:

Delay Time: Kinakatawan ng td, ang metric na ito ay nagsukat kung gaano katagal ang tugon upang maabot ang limampung porsyento ng huling halaga para sa unang pagkakataon.

Rise Time: Ang oras na ito ay kinakatawan ng tr, at maaaring makalkula gamit ang rise time formula. Inilalarawan namin ang rise time sa dalawang kaso:

Sa kaso ng under damped systems kung saan ang halaga ng ζ ay mas kaunti sa isa, sa kaso na ito ang rise time ay inilalarawan bilang oras na kinakailangan ng tugon upang maabot mula sa zero value hanggang sa sampu porsyentong halaga ng huling halaga.

Sa kaso ng over damped systems kung saan ang halaga ng ζ ay mas marami sa isa, sa kaso na ito ang rise time ay inilalarawan bilang oras na kinakailangan ng tugon upang maabot mula sa sampung porsyentong halaga hanggang sa siyamnapu porsyentong halaga ng huling halaga.

Peak Time: Ang oras na ito ay kinakatawan ng tp. Ang oras na kinakailangan ng tugon upang maabot ang peak value para sa unang pagkakataon, ang oras na ito ay kilala bilang peak time. Ang peak time ay malinaw na ipinapakita sa time response specification curve.

Settling Time: Ang oras na ito ay kinakatawan ng ts, at maaaring makalkula gamit ang settling time formula. Ang oras na kinakailangan ng tugon upang maabot at sa loob ng nais na range ng (dalawang porsyento hanggang sa limang porsyento) ng huling halaga para sa unang pagkakataon, ang oras na ito ay kilala bilang settling time. Ang settling time ay malinaw na ipinapakita sa time response specification curve.

Maximum Overshoot: Ito ay ipinapakita (sa pangkalahatan) sa porsyento ng steady state value at ito ay inilalarawan bilang maximum positive deviation ng tugon mula sa kanyang desired value. Dito ang desired value ay steady state value.

Steady state error: Inilalarawan bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng aktwal na output at ang nais na output habang ang oras ay lumalapit sa walang hanggan. Ngayon handa na tayo upang gawin ang time response analysis ng first order system.

Transient State at Steady State Response ng First Order Control System

Isaalang-alang natin ang block diagram ng first order system.

Mula sa block diagram na ito maaari nating makahanap ang kabuuang transfer function na linear sa natura. Ang transfer function ng first order system ay 1/((sT+1)). Ating sisilamin ang steady state at transient response ng control system para sa sumusunod na standard signal.

• Unit impulse.

• Unit step.

• Unit ramp.

Unit impulse response : Mayroon tayong Laplace transform ng unit impulse na 1. Ngayon ibigay natin ang standard input na ito sa first order system, meron tayong

Ngayon, kukunin natin ang inverse Laplace transform ng itaas na ekwasyon, meron tayong

Malinaw na ang steady state response ng control system ay depende lamang sa time constant ‘T’ at ito ay nag-decay sa natura.

Unit Step Response: Ang Laplace transform para sa unit step input ay 1/s. Pag-apply nito sa first order system, susuriin natin ang epekto nito sa pagkakataon ng sistema.

Sa tulong ng partial fraction, kukunin natin ang inverse Laplace transform ng itaas na ekwasyon, meron tayong

Malinaw na ang oras ng tugon ay depende lamang sa time constant ‘T’. Sa kaso na ito, ang steady state error ay zero sa pamamagitan ng pag-limit ng t na lumalapit sa zero.

Unit Ramp Response : Mayroon tayong Laplace transform ng unit impulse na 1/s 2.

Ngayon, ibigay natin ang standard input na ito sa first order system, meron tayong

Sa tulong ng partial fraction, kukunin natin ang inverse Laplace transform ng itaas na ekwasyon, meron tayong

Sa pag-plot ng exponential function ng oras, meron tayong ‘T’ sa pamamagitan ng pag-limit ng t na lumalapit sa zero.

Transient State at Steady State Response ng Second Order Control System

Isaalang-alang natin ang block diagram ng second order system.

Mula sa block diagram na ito maaari nating makahanap ang kabuuang transfer function na hindi linear sa natura. Ang transfer function ng second order system ay (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Ating sisilamin ang transient state response ng control system para sa sumusunod na standard signal.

Unit Impulse Response : Mayroon tayong Laplace transform ng unit impulse na 1. Ngayon ibigay natin ang standard input na ito sa second order system, meron tayong

Kung saan, ω ay natural frequency sa rad/sec at ζ ay damping ratio.

Unit Step Response : Mayroon tayong Laplace transform ng unit impulse na 1/s. Ngayon ibigay natin ang standard input na ito sa first order system, meron tayong

Ngayon, tingnan natin ang epekto ng iba't ibang halaga ng ζ sa tugon. Mayroon tayong tatlong uri ng sistema batay sa iba't ibang halaga ng ζ.

Under Damped System: Inilalarawan ng damping ratio (ζ) na mas maliit sa isa, ang sistema na ito ay may complex roots na may negative real parts, na nag-uugnay sa asymptotic stability at mas maikling rise time na may ilang overshoot.

Critically Damped System : Ang sistema ay tinatawag na critically damped system kapag ang halaga ng ζ ay isa. Sa kaso na ito, ang mga ugat ay tunay sa natura at ang mga real parts ay laging repetitive sa natura. Ang sistema ay asymptotically stable. Mas maikli ang rise time sa sistema na ito at walang presensya ng finite overshoot.

Over Damped System : Ang sistema ay tinatawag na over damped system kapag ang halaga ng ζ ay mas marami sa isa. Sa kaso na ito, ang mga ugat ay tunay at distinct sa natura at ang mga real parts ay laging negative. Ang sistema ay asymptotically stable. Mas mahaba ang rise time kaysa sa ibang sistema at walang presensya ng finite overshoot.

Sustained Oscillations : Ang sistema ay tinatawag na sustain damped system kapag ang halaga ng zeta ay zero. Walang damping ang nangyayari sa kaso na ito.

Ngayon, ihahanda natin ang mga ekspresyon para sa rise time, peak time, maximum overshoot, settling time at steady state error sa pamamagitan ng unit step input para sa second order system.

Rise Time : Upang makuha ang ekspresyon para sa rise time, kailangan nating i-equate ang ekspresyon para sa c(t) = 1. Mula sa itaas, meron tayong

Sa pag-solve ng itaas na ekwasyon, meron tayong ekspresyon para sa rise time na katumbas ng

Peak Time : Sa pag-differentiate ng ekspresyon ng c(t), maaari nating makuha ang ekspresyon para sa peak time. dc(t)/ dt = 0, meron tayong ekspresyon para sa peak time,

Maximum Overshoot : Malinaw mula sa larawan na ang maximum overshoot ay mangyayari sa peak time tp, kaya sa pag-lagay ng halaga ng peak time, maaari nating makuha ang maximum overshoot bilang

Settling Time : Ang settling time ay ibinibigay ng ekspresyon

Steady State Error : Ang steady state error ay ang pagkakaiba sa pagitan ng aktwal na output at ang nais na output, kaya sa oras na lumalapit sa walang hanggan, ang steady state error ay zero.