ਕੰਟਰੋਲ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਟ੍ਰਾਂਜੀਅੰਟ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਅਵਸਥਾ ਜਵਾਬ

کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ ریسپانس

جیسا کہ نام سے ظاہر ہے، کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ ریسپانس تبدیلی کا مطلب ہے، یہ بنیادی طور پر دو شرائط کے بعد واقع ہوتا ہے اور ان دونوں شرائط کو درج ذیل لکھا گیا ہے-

پہلا شرط : صرف سسٹم کو آن کرنے کے بعد جب کسی سائنل کو سسٹم تک بھیجا جاتا ہے۔

دوسرا شرط : صرف کسی غیر معمولی حالت کے بعد۔ غیر معمولی حالات میں لوڈ میں اچانک تبدیلی، کارٹ کرنگ وغیرہ شامل ہو سکتے ہیں۔

کنٹرول سسٹم دا استیڈی سٹیٹ ریسپانس

استیڈی سٹیٹ کسی سسٹم کے قائم ہونے کے بعد واقع ہوتا ہے اور استیڈی سسٹم معمولی طور پر کام کرتا ہے۔ کنٹرول سسٹم دا استیڈی سٹیٹ ریسپانس ان پٹ سائنل کا ایک فنکشن ہوتا ہے اور اسے فورسڈ ریسپانس بھی کہا جاتا ہے۔

اب کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ ریسپانس ترانزیئنٹ ریسپانس کے دوران سسٹم کی کارکردگی کا واضح وصف دیتا ہے اور کنٹرول سسٹم دا استیڈی سٹیٹ ریسپانس استیڈی سٹیٹ کے دوران سسٹم کی کارکردگی کا واضح وصف دیتا ہے۔

لہذا دونوں ریسپانسوں کا وقت کا تجزیہ بہت ضروری ہے۔ ہم الگ سے دونوں قسم کے ریسپانسوں کا تجزیہ کریں گے۔ پہلے ہم ترانزیئنٹ ریسپانس کا تجزیہ کریں گے۔ ترانزیئنٹ ریسپانس کا تجزیہ کرنے کے لیے ہم کچھ وقت کی مشخصات رکھتے ہیں اور انہیں درج ذیل لکھا گیا ہے:

ڈیلے ٹائم: td سے ظاہر کیا جاتا ہے، یہ مشخصہ یہ معلوم کرتا ہے کہ ریسپانس کو اپنے آخری قدر کا پانچویں حصہ پہنچنے میں کتنا وقت لگتا ہے۔

رائز ٹائم: اس وقت کو tr سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اسے رائز ٹائم فارمولے کے ذریعے کالکولیٹ کیا جا سکتا ہے۔ ہم دو موارد میں رائز ٹائم کو تعریف کرتے ہیں:

ایک کیس میں زیرو ڈیمپڈ سسٹمز کی صورت میں جہاں ζ کی قدر ایک سے کم ہوتی ہے، اس صورت میں رائز ٹائم کو ریسپانس کو صفر سے اپنی آخری قدر تک پہنچنے کا وقت تعریف کیا جاتا ہے۔

دوسرے کیس میں اوور ڈیمپڈ سسٹمز کی صورت میں جہاں ζ کی قدر ایک سے زیادہ ہوتی ہے، اس صورت میں رائز ٹائم کو ریسپانس کو اپنی آخری قدر کا دس فیصد سے نینیوں فیصد تک پہنچنے کا وقت تعریف کیا جاتا ہے۔

پیک ٹائم: اس وقت کو tp سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ریسپانس کو پہلی مرتبہ اپنی پیک قدر تک پہنچنے کا وقت، اس وقت کو پیک ٹائم کہا جاتا ہے۔ پیک ٹائم وقت کے ریسپانس مشخصات کی کرف میں واضح طور پر ظاہر ہوتا ہے۔

سیٹلنگ ٹائم: اس وقت کو ts سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور اسے سیٹلنگ ٹائم فارمولے کے ذریعے کالکولیٹ کیا جا سکتا ہے۔ ریسپانس کو اپنی آخری قدر کا دو فیصد سے پانچ فیصد تک پہنچنے کا وقت، اس وقت کو سیٹلنگ ٹائم کہا جاتا ہے۔ سیٹلنگ ٹائم وقت کے ریسپانس مشخصات کی کرف میں واضح طور پر ظاہر ہوتا ہے۔

ماکسیمم اوورشوٹ: عام طور پر اسے استیڈی سٹیٹ قدر کے فیصد میں ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے ریسپانس کی اپنی مطلوبہ قدر سے ماکسیمم مثبت انحراف کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے۔ یہاں مطلوبہ قدر استیڈی سٹیٹ قدر ہے۔

استیڈی سٹیٹ خطا: اسے فعلی آؤٹ پٹ اور مطلوبہ آؤٹ پٹ کے درمیان فرق کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے جب وقت بیشمار ہو۔ اب ہم پہلے آرڈر سسٹم کے وقت کے ریسپانس کے تجزیہ کے لیے تیار ہیں۔

پہلے آرڈر کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ اور استیڈی سٹیٹ ریسپانس

ہم پہلے آرڈر سسٹم دا بلاک ڈیاگرام لیتے ہیں۔

اس بلاک ڈیاگرام سے ہم کلیہ ٹرانسفر فنکشن تلاش کر سکتے ہیں جو لائنیئر ہوتا ہے۔ پہلے آرڈر سسٹم دا ٹرانسفر فنکشن 1/((sT+1)) ہے۔ ہم نیچے لکھی گئی معیاری سائنل کے لیے کنٹرول سسٹم دا استیڈی سٹیٹ اور ترانزیئنٹ ریسپانس کا تجزیہ کرنے جا رہے ہیں۔

• یونٹ امپالس۔

• یونٹ اسٹیپ۔

• یونٹ رامپ۔

یونٹ امپالس ریسپانس : ہمیں یونٹ امپالس دا لاپلس ٹرانسفر 1 ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے آرڈر سسٹم تک بھیجنے کی کوشش کرتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

اب اوپر والی مساوات دا انورس لاپلس ٹرانسفر لیتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

یہ واضح ہے کہ کنٹرول سسٹم دا استیڈی سٹیٹ ریسپانس صرف وقت دی کنستنٹ 'T' پر منحصر ہے اور یہ گھٹنے والی طبیعت کا ہے۔

یونٹ اسٹیپ ریسپانس: یونٹ اسٹیپ ان پٹ دا لاپلس ٹرانسفر 1/s ہے۔ اسے پہلے آرڈر سسٹم تک لگانے کے بعد، ہم اس کے سسٹم پر کیا اثر ہے کا تجزیہ کرتے ہیں۔

پارشل فریکشن کی مدد سے اوپر والی مساوات دا انورس لاپلس ٹرانسفر لیتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

یہ واضح ہے کہ وقت کا ریسپانس صرف وقت دی کنستنٹ 'T' پر منحصر ہے۔ اس کیس میں استیڈی سٹیٹ خطا صفر ہوتی ہے t کو صفر کی طرف لے کر۔

یونٹ رامپ ریسپانس : ہمیں یونٹ امپالس دا لاپلس ٹرانسفر 1/s 2 ہے۔

اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے آرڈر سسٹم تک بھیجنے کی کوشش کرتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

پارشل فریکشن کی مدد سے اوپر والی مساوات دا انورس لاپلس ٹرانسفر لیتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

وقت دی اکسپوننشل فنکشن کو پلاتنگ کرتے ہوئے ہم 'T' کو t کو صفر کی طرف لے کر ملتے ہیں۔

دوسرا آرڈر کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ اور استیڈی سٹیٹ ریسپانس

ہم دوسرا آرڈر سسٹم دا بلاک ڈیاگرام لیتے ہیں۔

اس بلاک ڈیاگرام سے ہم کلیہ ٹرانسفر فنکشن تلاش کر سکتے ہیں جو غیر لائنیئر ہوتا ہے۔ دوسرا آرڈر سسٹم دا ٹرانسفر فنکشن (ω2) / {s (s + 2ζω )} ہے۔ ہم نیچے لکھی گئی معیاری سائنل کے لیے کنٹرول سسٹم دا ترانزیئنٹ ریسپانس کا تجزیہ کرنے جا رہے ہیں۔

یونٹ امپالس ریسپانس : ہمیں یونٹ امپالس دا لاپلس ٹرانسفر 1 ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو دوسرا آرڈر سسٹم تک بھیجنے کی کوشش کرتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

جہاں، ω ریڈیئن/سیکنڈ میں قدرتی فریکوئنسی ہے اور ζ ڈیمپنگ ریٹیو ہے۔

یونٹ اسٹیپ ریسپانس : ہمیں یونٹ امپالس دا لاپلس ٹرانسفر 1/s ہے۔ اب ہم اس معیاری ان پٹ کو پہلے آرڈر سسٹم تک بھیجنے کی کوشش کرتے ہیں، ہمیں ملتا ہے

اب ہم مختلف ζ کی قدر کے اثر کو دیکھیں گے۔ ہم مختلف ζ کی قدر کے بنیاد پر تین قسم کے سسٹم ہوتے ہیں۔

انڈر ڈیمپڈ سسٹم: ڈیمپنگ ریٹیو (ζ) ایک سے کم ہونے والے سسٹم کو تعریف کیا جاتا ہے، اس سسٹم میں نیگیٹیو ریل پارٹس کے ساتھ کمپلیکس روٹس ہوتے ہیں، جو ایسیموٹک استیبلٹی اور کچھ اوورشوٹ کے ساتھ کم رائز ٹائم کو یقینی بناتے ہیں۔

کریٹیکلی ڈیمپڈ سسٹم : جب ζ کی قدر ایک ہوتی ہے تو سسٹم کو کریٹیکلی ڈیمپڈ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں روٹس حقیقی ہوتے ہیں اور حقیقی پارٹس ہمیشہ دہرانگی ہوتے ہیں۔ سسٹم ایسیموٹک استیبل ہوتا ہے۔ اس سسٹم میں رائز ٹائم کم ہوتا ہے اور کوئی محدود اوورشوٹ موجود نہیں ہوتا۔

اوور ڈیمپڈ سسٹم : جب ζ کی قدر ایک سے زیادہ ہوتی ہے تو سسٹم کو اوور ڈیمپڈ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں روٹس حقیقی اور جداگانہ ہوتے ہیں اور حقیقی پارٹس ہمیشہ نیگیٹیو ہوتے ہیں۔ سسٹم ایسیموٹک استیبل ہوتا ہے۔ اس سسٹم میں رائز ٹائم دیگر سسٹم سے زیادہ ہوتا ہے اور کوئی محدود اوورشوٹ موجود نہیں ہوتا۔

سستیلی ڈیمپڈ سسٹم : جب zeta کی قدر صفر ہوتی ہے تو سسٹم کو سستیلی ڈیمپڈ سسٹم کہا جاتا ہے۔ اس صورت میں کوئی ڈیمپنگ نہیں ہوتی۔

اب ہم دوسرا آرڈر سسٹم کے لیے یونٹ اسٹیپ ان پٹ کے لیے رائز ٹائم، پیک ٹائم، ماکسیمم اوورشوٹ، سیٹلنگ ٹائم اور استیڈی سٹیٹ خطا کے اظہارات کو نکالتے ہیں۔

رائز ٹائم : رائز ٹائم کے اظہار کو نکالنے کے لیے ہمیں c(t) = 1 کے لیے مساوات کو برابر کرنا ہوتا ہے۔ اوپر سے ہمیں ملتا ہے