Rispons Transjent u Stejjer f’Sistema ta' Kontroll
Risposta Transitoria del Sistema di Controllo
Come suggerisce il nome, la risposta transitoria del sistema di controllo significa cambiamento, e ciò avviene principalmente dopo due condizioni, che sono scritte come segue-
Condizione uno : Subito dopo l'attivazione del sistema, cioè al momento dell'applicazione di un segnale di ingresso al sistema.
Condizione seconda : Subito dopo qualsiasi condizione anomala. Le condizioni anormali possono includere un cambiamento improvviso nel carico, un cortocircuito, ecc.
Risposta Stazionaria del Sistema di Controllo
Lo stato stazionario si verifica dopo che il sistema si è stabilizzato e inizia a funzionare normalmente. La risposta stazionaria del sistema di controllo è una funzione del segnale di ingresso ed è anche chiamata risposta forzata.
Ora, la risposta transitoria del sistema di controllo fornisce una descrizione chiara di come il sistema funzioni durante lo stato transitorio, mentre la risposta stazionaria del sistema di controllo fornisce una descrizione chiara di come il sistema funzioni durante lo stato stazionario.
Pertanto, l'analisi temporale di entrambi gli stati è essenziale. Analizzeremo separatamente entrambi i tipi di risposte. Analizziamo prima la risposta transitoria. Per analizzare la risposta transitoria, abbiamo alcune specifiche temporali, che sono elencate come segue:
Tempo di Ritardo: Rappresentato da td, questa metrica misura quanto tempo ci vuole per la risposta per raggiungere il cinquanta percento del suo valore finale per la prima volta.
Tempo di Salita: Questo tempo è rappresentato da tr, e può essere calcolato utilizzando la formula del tempo di salita. Definiamo il tempo di salita in due casi:
Nel caso dei sistemi sottosmorzati dove il valore di ζ è inferiore a uno, in questo caso il tempo di salita è definito come il tempo necessario per la risposta per passare dal valore zero al cento percento del valore finale.
Nel caso dei sistemi ipersmorzati dove il valore di ζ è superiore a uno, in questo caso il tempo di salita è definito come il tempo necessario per la risposta per passare dal dieci percento al novanta percento del valore finale.
Tempo di Picco: Questo tempo è rappresentato da tp. Il tempo necessario per la risposta per raggiungere il valore di picco per la prima volta, questo tempo è noto come tempo di picco. Il tempo di picco è chiaramente mostrato nella curva delle specifiche della risposta temporale.
Tempo di Stabilizzazione: Questo tempo è rappresentato da ts, e può essere calcolato utilizzando la formula del tempo di stabilizzazione. Il tempo necessario per la risposta per raggiungere e restare all'interno di un range specificato (tra il due e il cinque percento) del suo valore finale per la prima volta, questo tempo è noto come tempo di stabilizzazione. Il tempo di stabilizzazione è chiaramente mostrato nella curva delle specifiche della risposta temporale.
Sovrassalto Massimo: È espresso (in generale) in percentuale del valore stazionario e viene definito come la massima deviazione positiva della risposta dal suo valore desiderato. Qui il valore desiderato è il valore stazionario.
Errore Stazionario: Definito come la differenza tra l'uscita effettiva e l'uscita desiderata quando il tempo tende all'infinito. Ora siamo in grado di fare un'analisi della risposta temporale di un sistema del primo ordine.
Risposta Transitoria e Stazionaria di un Sistema di Controllo del Primo Ordine
Consideriamo il diagramma a blocchi del sistema del primo ordine.
Da questo diagramma a blocchi possiamo trovare la funzione di trasferimento complessiva, che è lineare. La funzione di trasferimento del sistema del primo ordine è 1/((sT+1)). Analizzeremo la risposta stazionaria e transitoria del sistema di controllo per i seguenti segnali standard.
Impulso unitario.
Gradino unitario.
Rampa unitaria.
Risposta all'impulso unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario è 1. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Ora prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
È chiaro che la risposta stazionaria del sistema di controllo dipende solo dalla costante di tempo 'T' e ha natura decadente.
Risposta al gradino unitario: La trasformata di Laplace per l'ingresso a gradino unitario è 1/s. Applicando questo a un sistema del primo ordine, analizziamo i suoi effetti sul comportamento del sistema.
Con l'aiuto delle frazioni parziali, prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
È chiaro che la risposta temporale dipende solo dalla costante di tempo 'T'. In questo caso l'errore stazionario è zero ponendo il limite t che tende a zero.
Risposta alla rampa unitaria : Abbiamo la trasformata di Laplace della rampa unitaria è 1/s².
Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Con l'aiuto delle frazioni parziali, prendendo la trasformata inversa di Laplace dell'equazione sopra, abbiamo
Tracciando la funzione esponenziale del tempo, abbiamo 'T' ponendo il limite t che tende a zero.
Risposta Transitoria e Stazionaria di un Sistema di Controllo del Secondo Ordine
Consideriamo il diagramma a blocchi del sistema del secondo ordine.
Da questo diagramma a blocchi possiamo trovare la funzione di trasferimento complessiva, che è non lineare. La funzione di trasferimento del sistema del secondo ordine è (ω²) / {s (s + 2ζω)}. Analizzeremo la risposta transitoria del sistema di controllo per i seguenti segnali standard.
Risposta all'impulso unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario è 1. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del secondo ordine, abbiamo
Dove, ω è la frequenza naturale in rad/sec e ζ è il rapporto di smorzamento.
Risposta al gradino unitario : Abbiamo la trasformata di Laplace dell'impulso unitario è 1/s. Ora diamo questo ingresso standard a un sistema del primo ordine, abbiamo
Ora vedremo l'effetto di diversi valori di ζ sulla risposta. Abbiamo tre tipi di sistemi in base ai diversi valori di ζ.
Sistema Sottosmorzato: Definito da un rapporto di smorzamento (ζ) inferiore a uno, questo sistema presenta radici complesse con parti reali negative, garantendo stabilità asintotica e un tempo di salita più breve con qualche sovrassalto.
Sistema Criticamente Smorzato : Un sistema è detto criticamente smorzato quando il valore di ζ è uno. In questo caso le radici sono reali e le parti reali sono sempre ripetitive. Il sistema è asintoticamente stabile. Il tempo di salita è minore in questo sistema e non c'è presenza di sovrassalto finito.
Sistema Ipersmorzato : Un sistema è detto ipersmorzato quando il valore di ζ è superiore a uno. In questo caso le radici sono reali e distinte e le parti reali sono sempre negative. Il sistema è asintoticamente stabile. Il tempo di salita è maggiore degli altri sistemi e non c'è presenza di sovrassalto finito.
Oscillazioni Sostenute : Un sistema è detto smorzato sostenuto quando il valore di zeta è zero. Non avviene alcuno smorzamento in questo caso.
Ora deriviamo le espressioni per il tempo di salita, il tempo di picco, il sovrassalto massimo, il tempo di stabilizzazione e l'errore stazionario con un ingresso a gradino unitario per un sistema del secondo ordine.
Tempo di Salita : Per derivare l'espressione per il tempo di salita dobbiamo equilibrare l'espressione per c(t) = 1. Da quanto sopra, abbiamo
Risolvendo l'equazione sopra, abbiamo l'espressione per il tempo di salita uguale a
Tempo di Picco : Differenziando l'espressione di c(t) possiamo ottenere l'espressione per il tempo di picco. dc(t)/ dt = 0, abbiamo l'espressione per il tempo di picco,
Sovrassalto Massimo : Ora è chiaro dalla figura che il sovrassalto massimo si verificherà al tempo di picco tp, quindi mettendo il valore del tempo di picco otterremo il sovrassalto massimo come
Tempo di Stabilizzazione : Il tempo di stabilizzazione è dato dall'espressione
Errore Stazionario : L'errore stazionario è la differenza tra l'uscita effettiva e l'uscita desiderata, quindi al tempo che tende all'infinito l'errore stazionario è zero.
