Resposta Transitoria i Estacionària en un Sistema de Control

Resposta Transient d'un Sistema de Control

Com el nom indica, la resposta transient d'un sistema de control significa canvi, i això ocorre principalment després de dues condicions, que es detallen a continuació:

Condició una : Just després d'encendre el sistema, és a dir, en el moment de l'aplicació d'una senyal d'entrada al sistema.

Condició dos : Just després de qualsevol condició anormal. Les condicions anormals poden incloure un canvi súbit de càrrega, un curt circuit, etc.

Resposta Estable d'un Sistema de Control

L'estat estable ocorre després que el sistema s'hagi estabilitzat i comença a funcionar normalment. La resposta estable d'un sistema de control és una funció de la senyal d'entrada i també se la coneix com a resposta forçada.

Ara, la resposta transient del sistema de control proporciona una descripció clara de com funciona el sistema durant l'estat transient, mentre que la resposta estable del sistema de control ofereix una descripció clara de com funciona el sistema durant l'estat estable. 

Per tant, l'anàlisi temporal de tots dos estats és molt essencial. Analitzarem separadament ambdós tipus de respostes. Comencem analitzant la resposta transient. Per analitzar la resposta transient, tenim algunes especificacions temporals que es detallen a continuació:

Temps de Retard: Representat per td, aquesta mètrica mesura quant de temps triga la resposta a arribar al cinquanta per cent del seu valor final per primera vegada.

Temps de Pujada: Aquest temps es representa per tr, i es pot calcular utilitzant la fórmula del temps de pujada. Definim el temps de pujada en dos casos:

En el cas de sistemes subamortits on el valor de ζ és menor que un, en aquest cas, el temps de pujada es defineix com el temps necessari per a que la resposta passi de zero al cent per cent del valor final.

En el cas de sistemes sobreamortits on el valor de ζ és major que un, en aquest cas, el temps de pujada es defineix com el temps necessari per a que la resposta passi del deu per cent al noranta per cent del valor final.

Temps de Pic: Aquest temps es representa per tp. El temps necessari per a que la resposta arribi al valor de pic per primera vegada, aquest temps es coneix com a temps de pic. El temps de pic es mostra clarament a la corba d'especificacions de la resposta temporal.

Temps de Settling: Aquest temps es representa per ts, i es pot calcular utilitzant la fórmula del temps de settling. El temps necessari per a que la resposta arribi i es mantingui dins el rang especificat (entre el dos per cent i el cinc per cent) del seu valor final per primera vegada, aquest temps es coneix com a temps de settling. El temps de settling es mostra clarament a la corba d'especificacions de la resposta temporal.

Sobresalt Màxim: Es expressa (en general) en percentatge del valor estable i es defineix com la desviació positiva màxima de la resposta del seu valor desitjat. Aquí, el valor desitjat és el valor estable.

Error Estable: Definit com la diferència entre la sortida real i la sortida desitjada quan el temps tendeix a infinit. Ara estem en posició d'anàlitzar la resposta temporal d'un sistema d'ordre primer.

Resposta Transient i Estable d'un Sistema de Control d'Ordre Primer

Considerem el diagrama de blocs d'un sistema d'ordre primer.

A partir d'aquest diagrama de blocs, podem trobar la funció de transferència total, que és lineal. La funció de transferència d'un sistema d'ordre primer és 1/((sT+1)). Vam a analitzar la resposta estable i transient del sistema de control per a les següents senyals estàndard.

• Impuls unitari.

• Esgronada unitària.

• Rampa unitària.

Resposta a l'impuls unitari : Tenim la transformada de Laplace de l'impuls unitari és 1. Ara donem aquesta entrada estàndard a un sistema d'ordre primer, tenim

Ara prenent la transformada inversa de Laplace de l'equació anterior, tenim

És clar que la resposta estable del sistema de control depèn només de la constant de temps 'T' i és decrescint en naturalesa.

Resposta a l'esgronada unitària: La transformada de Laplace per a l'entrada d'esgronada unitària és 1/s. Aplicant-ho a un sistema d'ordre primer, analitzem els seus efectes sobre el comportament del sistema.

Amb l'ajuda de fraccions parcials, prenent la transformada inversa de Laplace de l'equació anterior, tenim

És clar que la resposta temporal depèn només de la constant de temps 'T'. En aquest cas, l'error estable és zero en posar el límit t tendint a zero.

Resposta a la rampa unitària : Tenim la transformada de Laplace de l'impuls unitari és 1/s².

Ara donem aquesta entrada estàndard a un sistema d'ordre primer, tenim

Amb l'ajuda de fraccions parcials, prenent la transformada inversa de Laplace de l'equació anterior, tenim

Al representar la funció exponencial de temps, tenim 'T' en posar el límit t tendint a zero.

Resposta Transient i Estable d'un Sistema de Control d'Ordre Segon

Considerem el diagrama de blocs d'un sistema d'ordre segon.

A partir d'aquest diagrama de blocs, podem trobar la funció de transferència total, que és no lineal. La funció de transferència d'un sistema d'ordre segon és (ω²) / {s (s + 2ζω )}. Vam a analitzar la resposta transient del sistema de control per a les següents senyals estàndard.

Resposta a l'impuls unitari : Tenim la transformada de Laplace de l'impuls unitari és 1. Ara donem aquesta entrada estàndard a un sistema d'ordre segon, tenim

On, ω és la freqüència natural en rad/s i ζ és el rati d'amortiment.

Resposta a l'esgronada unitària : Tenim la transformada de Laplace de l'impuls unitari és 1/s. Ara donem aquesta entrada estàndard a un sistema d'ordre primer, tenim

Ara veurem l'efecte de diferents valors de ζ en la resposta. Tenim tres tipus de sistemes basats en diferents valors de ζ.

Sistema Subamortit: Definit per un rati d'amortiment (ζ) menor que un, aquest sistema té arrels complexes amb parts reals negatives, assegurant estabilitat asimptòtica i un temps de pujada més curt amb algun sobresalt.

Sistema Críticament Amortit : Un sistema es diu que és críticament amortit quan el valor de ζ és un. En aquest cas, les arrels són reals i les parts reals són sempre repetitives. El sistema és asimptòticament estable. El temps de pujada és menor en aquest sistema i no hi ha presència de sobresalt finit.

Sistema Sobreamortit : Un sistema es diu que és sobreamortit quan el valor de ζ és major que un. En aquest cas, les arrels són reals i distintes i les parts reals són sempre negatives. El sistema és asimptòticament estable. El temps de pujada és més gran que en els altres sistemes i no hi ha presència de sobresalt finit.

Oscil·lacions Sostenides : Un sistema es diu que és sostenidament amortit quan el valor de zeta és zero. No hi ha amortiment en aquest cas.

Ara derivarem les expressions per al temps de pujada, temps de pic, sobresalt màxim, temps de settling i error estable amb una entrada d'esgronada unitària per a un sistema d'ordre segon.

Temps de Pujada : Per derivar l'expressió del temps de pujada, hem d'igualar l'expressió per a c(t) = 1. A partir de l'anterior, tenim

En resoldre l'equació anterior, tenim l'expressió per al temps de pujada igual a

Temps de Pic : Diferenciant l'expressió de c(t), podem obtenir l'expressió per al temps de pic. dc(t)/ dt = 0, tenim l'expressió per al temps de pic,

Sobresalt Màxim : Ara és clar que el sobresalt màxim ocurrirà al temps de pic tp, per tant, en posar el valor del temps de pic, obtindrem el sobresalt màxim com

Temps de Settling : El temps de settling es dóna per l'expressió

Error Estable : L'error estable és la diferència entre la sortida real i la sortida desitjada, per tant, quan el temps tendeix a infinit, l'error estable és zero.