Privremena i stabilna stanja odziva u sistemu kontrole

Privremena odziv kontrolnog sistema

Kao što naziv kaže, privremeni odziv kontrolnog sistema znači promenu, ovo se dešava uglavnom posle dve situacije, a te dve situacije su napisane kao sledi-

Prva situacija : U trenutku uključivanja sistema, to jest u trenutku kada se signal unosi u sistem.

Druga situacija : U trenutku bilo kakvih neobičnih uslova. Neobični uslovi mogu uključivati nagle promene opterećenja, kratak spoj itd.

Stacionarni odziv kontrolnog sistema

Stacionarno stanje nastupa nakon što se sistem stabilizuje i kada sistem počne normalno da radi. Stacionarni odziv kontrolnog sistema je funkcija ulaznog signala i takodje se naziva prisilnim odzivom.

Sada privremeni odziv kontrolnog sistema daje jasan opis kako sistem funkcionira tokom privremenog stanja, a stacionarni odziv kontrolnog sistema daje jasan opis kako sistem funkcionira tokom stacionarnog stanja. 

Zato je vremenska analiza oba stanja veoma bitna. Analizirat ćemo pojedinačno obe vrste odziva. Prvo ćemo analizirati privremeni odziv. Da bismo analizirali privremeni odziv, imamo neke vremenske specifikacije i one su napisane kao sledi:

Vreme kašnjenja: Obeleženo sa td, ovaj merodavan pokazuje koliko dugo treba odzivu da dosegne petdeset procenata svoje konačne vrednosti prvi put.

Vreme uspona: Ovo vreme je obeleženo sa tr, i može se izračunati pomoću formule za vreme uspona. Definisemo vreme uspona u dva slučaja:

U slučaju podpruženog sistema gde je vrednost ζ manja od jedan, u ovom slučaju vreme uspona definiše se kao vreme potrebno odzivu da dosegne od nulte vrednosti do sto procenata konačne vrednosti.

U slučaju prepruženog sistema gde je vrednost ζ veća od jedan, u ovom slučaju vreme uspona definiše se kao vreme potrebno odzivu da dosegne od deset procenata vrednosti do devetdeset procenata konačne vrednosti.

Vreme vrha: Ovo vreme je obeleženo sa tp. Vreme potrebno odzivu da dosegne maksimalnu vrednost prvi put, ovo vreme se naziva vreme vrha. Vreme vrha je jasno prikazano na krivoj vremenskih specifikacija odziva.

Vreme stabilizacije: Ovo vreme je obeleženo sa ts, i može se izračunati pomoću formule za vreme stabilizacije. Vreme potrebno odzivu da dosegne i ostane unutar određenog opsega oko (dve do pet procenata) svoje konačne vrednosti prvi put, ovo vreme se naziva vreme stabilizacije. Vreme stabilizacije je jasno prikazano na krivoj vremenskih specifikacija odziva.

Maksimalni prekorak: Izražava se (uopšteno) u procentima stacionarne vrednosti i definisan je kao maksimalna pozitivna devijacija odziva od željene vrednosti. Ovdje je željena vrednost stacionarna vrednost.

Stacionarna greška: Definisana kao razlika između stvarnog izlaza i željenog izlaza kada vreme teži beskonačnosti. Sada smo spremni da uradimo vremensku analizu prvog reda sistema.

Privremeni i stacionarni odziv kontrolnog sistema prvog reda

Razmotrimo blok dijagram sistema prvog reda.

Iz ovog blok dijagrama možemo pronaći ukupnu prenosnu funkciju koja je linearna prirode. Prenosna funkcija sistema prvog reda je 1/((sT+1)). Analizirati ćemo stacionarni i privremeni odziv kontrolnog sistema za sledeće standardne signale.

• Jedinični impulsnik.

• Jedinični korak.

• Jedinični rampan.

Odziv na jedinični impulsnik : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulsa 1. Sada dati ovaj standardni ulaz sistemu prvog reda, imamo

Sada uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, imamo

Jasno je da stacionarni odziv kontrolnog sistema zavisi samo od vremenske konstante ‘T’ i da je opadajuće prirode.

Odziv na jedinični korak: Laplaceova transformacija za jedinični korak je 1/s. Primene ovog ulaza na sistem prvog reda, analiziramo njegov uticaj na ponašanje sistema.

Pomoću parcijalnih razlomaka, uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, imamo

Jasno je da vremenski odziv zavisi samo od vremenske konstante ‘T’. U ovom slučaju stacionarna greška je nula kada stavimo granicu t koja teži nuli.

Odziv na jedinični ramp: Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulsa 1/s 2.

Sada dati ovaj standardni ulaz sistemu prvog reda, imamo

Pomoću parcijalnih razlomaka, uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednačine, imamo

Na crtanju eksponencijalne funkcije vremena, imamo ‘T’ kada stavimo granicu t koja teži nuli.

Privremeni i stacionarni odziv kontrolnog sistema drugog reda

Razmotrimo blok dijagram sistema drugog reda.

Iz ovog blok dijagrama možemo pronaći ukupnu prenosnu funkciju koja je nelinearna prirode. Prenosna funkcija sistema drugog reda je (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Analizirati ćemo privremeni odziv kontrolnog sistema za sledeće standardne signale.

Odziv na jedinični impulsnik : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulsa 1. Sada dati ovaj standardni ulaz sistemu drugog reda, imamo

Gde, ω je prirodna frekvencija u rad/sec i ζ je koeficijent prigušenja.

Odziv na jedinični korak : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulsa 1/s. Sada dati ovaj standardni ulaz sistemu prvog reda, imamo

Sada videti ćemo efekat različitih vrednosti ζ na odziv. Imamo tri vrste sistema na osnovu različitih vrednosti ζ.

Podpruženi sistem: Definisani koeficijentom prigušenja (ζ) manjim od jedan, ovaj sistem ima kompleksne korene sa negativnim realnim delovima, obezbeđujući asimptotsku stabilnost i kraće vreme uspona sa nekim prekorakom.

Kritično pruženi sistem : Sistem se smatra kritično pruženim sistemom kada je vrednost ζ jedan. U ovom slučaju koreni su realni prirode i realni delovi su uvijek ponavljajući. Sistem je asimptotski stabilan. Vreme uspona je manje u ovom sistemu i nema prisustvo konačnog prekoraka.

Prepruženi sistem : Sistem se smatra prepruženim sistemom kada je vrednost ζ veća od jedan. U ovom slučaju koreni su realni i različiti prirode i realni delovi su uvijek negativni. Sistem je asimptotski stabilan. Vreme uspona je veće od drugih sistema i nema prisustvo konačnog prekoraka.

Održivi oscilaciji : Sistem se smatra održivo pruženim sistemom kada je vrednost zeta nula. Ne dolazi do prigušenja u ovom slučaju.

Sada izvedimo izraze za vreme uspona, vreme vrha, maksimalni prekorak, vreme stabilizacije i stacionarnu grešku sa jediničnim korakom za sistem drugog reda.

Vreme uspona : Da bismo izveli izraz za vreme uspona, moramo izjednačiti izraz za c(t) = 1. Iz gornjeg imamo

Rešavanjem gornje jednačine, imamo izraz za vreme uspona jednak

Vreme vrha : Diferenciranjem izraza za c(t) možemo dobiti izraz za vreme vrha. dc(t)/ dt = 0, imamo izraz za vreme vrha,

Maksimalni prekorak : Sada je jasno iz slike da će maksimalni prekorak nastupiti u vreme vrha tp, pa stavljanjem vrednosti vremena vrha dobijamo maksimalni prekorak kao

Vreme stabilizacije : Vreme stabilizacije dato je izrazom

Stacionarna greška : Stacionarna greška je razlika između stvarnog izlaza i željenog izlaza, tako da kad vreme teži beskonačnosti, stacionarna greška je nula.