Prenhod in stacionarno stanje v sistemih nadzora

Prehodna odziv sistema

Kot ime nakazuje, prehodni odziv sistema pomeni spremembo, ki se zgodi predvsem po dveh pogojih, in ta dva pogoja sta napisana kot sledi -

Pogoj ena : Takoj po vklopitvi sistema, to je ob času uporabe vhodnega signala v sistem.

Pogoj dva : Takoj po kakršnih koli nenormalnih pogojih. Nenormalni pogoji lahko vključujejo nenadno spremembo bremena, kratkoporočje itd.

Stalni odziv sistema

Stalno stanje nastane, ko se sistem uspešno uveljavi, in sistem začne normalno delovati. Stalni odziv sistema je funkcija vhodnega signala in se tudi imenuje prisiljen odziv.

Zdaj prehodni odziv sistema jasno opisuje, kako sistem deluje med prehodnim stanjem, in stalni odziv sistema jasno opisuje, kako sistem deluje med stalnim stanjem. 

Zato je časovna analiza obeh stanj zelo pomembna. Ločeno bomo analizirali obe vrsti odzivov. Najprej analizirajmo prehodni odziv. Za analizo prehodnega odziva imamo nekaj časovnih specifikacij, in so zapisane kot sledi:

Čas zakasnitve: Označen s td, ta merilo meri, kako dolgo traja, da doseže odziv petdeset odstotkov svoje končne vrednosti prvič.

Vzhodni čas: Ta čas je označen s tr in se lahko izračuna z uporabo formule za vzhodni čas. Vzhodni čas definiramo v dveh primerih:

V primeru podmrljenih sistemov, kjer je vrednost ζ manjša od ene, v tem primeru je vzhodni čas definiran kot čas, ki ga potrebuje odziv, da doseže od nič do sto odstotkov končne vrednosti.

V primeru premrhljenih sistemov, kjer je vrednost ζ večja od ene, v tem primeru je vzhodni čas definiran kot čas, ki ga potrebuje odziv, da doseže od deset do devetdeset odstotkov končne vrednosti.

Čas vrha: Ta čas je označen s tp. Čas, ki ga potrebuje odziv, da prvič doseže vrhuno vrednost, se imenuje čas vrha. Čas vrha je jasno prikazan na krivulji časovne specifikacije odziva.

Čas ustalitve: Ta čas je označen s ts in se lahko izračuna z uporabo formule za čas ustalitve. Čas, ki ga potrebuje odziv, da doseže in ostane znotraj določenega obsega (oko dveh do pet odstotkov) svoje končne vrednosti prvič, se imenuje čas ustalitve. Čas ustalitve je jasno prikazan na krivulji časovne specifikacije odziva.

Največja pretiranka: Izražena (v splošnem) v odstotkih stalne vrednosti, definirana je kot največja pozitivna odstopanja odziva od njegove želene vrednosti. Želena vrednost je stalna vrednost.

Stalna napaka: Definirana kot razlika med dejanskim izhodom in želenim izhodom, ko čas teži k neskončnosti. Zdaj smo pripravljeni izvesti časovno analizo prvostopenjskega sistema.

Prehodni in stalni odziv prvostopenjskega sistema

Razmislimo o blokdiagramu prvostopenjskega sistema.

Iz tega blokdiagrama lahko najdemo skupno prenosno funkcijo, ki je linearna narave. Prenosna funkcija prvostopenjskega sistema je 1/((sT+1)). Bomo analizirali stalni in prehodni odziv sistema za naslednje standardne signale.

• Enotski impulz.

• Enotski korak.

• Enotski ramp.

Odziv na enotski impulz : Imamo Laplaceovo transformacijo enotskega impulza 1. Sedaj dajmo ta standardni vhod prvostopenjskemu sistemu, imamo

Sedaj vzamimo inverzno Laplaceovo transformacijo zgornje enačbe, imamo

Je jasno, da stalni odziv sistema odvisen je samo od časovne konstante 'T' in je padajoče narave.

Odziv na enotski korak: Laplaceova transformacija za enotski korak je 1/s. S uporabo tega na prvostopenjskem sistemu, analiziramo njegov učinek na obnašanje sistema.

S pomočjo parcialnih ulomkov, vzamemo inverzno Laplaceovo transformacijo zgornje enačbe, imamo

Je jasno, da časovni odziv odvisen je samo od časovne konstante 'T'. V tem primeru je stalna napaka nič, ko postavimo limito t, ki teče proti nič.

Odziv na enotski ramp : Imamo Laplaceovo transformacijo enotskega impulza 1/s 2.

Sedaj dajmo ta standardni vhod prvostopenjskemu sistemu, imamo

S pomočjo parcialnih ulomkov, vzamemo inverzno Laplaceovo transformacijo zgornje enačbe, imamo

Na risanju eksponentne funkcije časa imamo 'T', ko postavimo limito t, ki teče proti nič.

Prehodni in stalni odziv dvostopenjskega sistema

Razmislimo o blokdiagramu dvostopenjskega sistema.

Iz tega blokdiagrama lahko najdemo skupno prenosno funkcijo, ki je nelinearna narave. Prenosna funkcija dvostopenjskega sistema je (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Bomo analizirali prehodni odziv sistema za naslednje standardne signale.

Odziv na enotski impulz : Imamo Laplaceovo transformacijo enotskega impulza 1. Sedaj dajmo ta standardni vhod dvostopenjskemu sistemu, imamo

Kjer je ω naravna frekvenca v rad/sec in ζ je koeficient dušenja.

Odziv na enotski korak : Imamo Laplaceovo transformacijo enotskega impulza 1/s. Sedaj dajmo ta standardni vhod prvostopenjskemu sistemu, imamo

Sedaj bomo videli učinke različnih vrednosti ζ na odziv. Imamo tri vrste sistemov glede na različne vrednosti ζ.

Podmrljeni sistem: Določen s koeficientom dušenja (ζ), manjšim od ene, ta sistem ima kompleksne korene s negativnimi realnimi deli, kar zagotavlja asimptotsko stabilnost in krajši vzhodni čas z nekatero pretiranko.

Kritično mrljeni sistem : Sistem se imenuje kritično mrljeni sistem, ko je vrednost ζ ena. V tem primeru so koreni realni narave in realni deli so vedno ponavljajoči. Sistem je asimptotsko stabilen. Vzhodni čas je krajši v tem sistemu in ni prisotna končna pretiranka.

Premrhljeni sistem : Sistem se imenuje premrhljeni sistem, ko je vrednost ζ večja od ene. V tem primeru so koreni realni in različni narave in realni deli so vedno negativni. Sistem je asimptotsko stabilen. Vzhodni čas je daljši kot v drugih sistemih in ni prisotna končna pretiranka.

Trajne oscilacije : Sistem se imenuje trajno mrljeni sistem, ko je vrednost zeta nič. V tem primeru ne more biti dušenja.

Sedaj izpeljimo izraze za vzhodni čas, čas vrha, največjo pretiranko, čas ustalitve in stalno napako za dvostopenjski sistem s enotskim korakom.

Vzhodni čas : Za izpeljavo izraza za vzhodni čas moramo enačiti izraz za c(t) = 1. Iz zgornjega imamo

Reševanjem zgornje enačbe imamo izraz za vzhodni čas enak

Čas vrha : Odvodimo izraz c(t) in dobimo izraz za čas vrha. dc(t)/ dt = 0, imamo izraz za čas vrha,

Največja pretiranka : Je jasno iz slike, da bo največja pretiranka nastala ob času vrha tp, zato z vstavljanjem vrednosti časa vrha dobimo največjo pretiranko kot

Čas ustalitve : Čas ustalitve je dan z izrazom

Stalna napaka : Stalna napaka je razlika med dejanskim izhodom in želenim izhodom, zato, ko čas teče proti neskončnosti, je stalna napaka nič.