Přechodová a stacionární odezva v řídicím systému
Přechodná odezva řídicího systému
Jako název napovídá, přechodná odezva řídicího systému znamená změnu, která se vyskytuje hlavně po dvou podmínkách. Tyto dvě podmínky jsou uvedeny níže:
První podmínka : Okamžikem poté, co je systém zapnut, tedy v okamžiku aplikace vstupního signálu do systému.
Druhá podmínka : Okamžikem poté, co dojde k nějakým neočekávaným situacím. Neočekávané situace mohou zahrnovat náhlou změnu zatížení, krátké spojení atd.
Stacionární odezva řídicího systému
Stacionární stav nastává, když se systém ustálí a začne pracovat normálně. Stacionární odezva řídicího systému je funkcí vstupního signálu a nazývá se také vynucená odezva.
Přechodná odezva řídicího systému poskytuje jasný popis toho, jak systém funguje během přechodného stavu, a stacionární odezva řídicího systému poskytuje jasný popis toho, jak systém funguje během stacionárního stavu.
Proto je časová analýza obou stavů velmi důležitá. Analyzujeme oba typy odezvy odděleně. Nejprve analyzujme přechodnou odezvu. Pro analýzu přechodné odezvy máme některé časové specifikace, které jsou uvedeny níže:
Zpoždění (Delay Time): Označované td, tento ukazatel měří, jak dlouho trvá, než odpověď dosáhne padesáti procent své konečné hodnoty poprvé.
Rozběhový čas (Rise Time): Tento čas je označován tr a lze ho vypočítat pomocí rozběhového času. Rozběhový čas definujeme ve dvou případech:
V případě podtlumených systémů, kde je hodnota ζ menší než jedna, je rozběhový čas definován jako čas potřebný k tomu, aby odpověď dosáhla od nulové hodnoty na sto procent konečné hodnoty.
V případě nadtlumených systémů, kde je hodnota ζ větší než jedna, je rozběhový čas definován jako čas potřebný k tomu, aby odpověď dosáhla od deseti procent na devadesát procent konečné hodnoty.
Čas vrcholu (Peak Time): Tento čas je označován tp. Čas, který odpověď potřebuje, aby dosáhla své první vrcholové hodnoty, se nazývá čas vrcholu. Čas vrcholu je jasně znázorněn v časové odezvě specifikace křivky.
Čas ustálení (Settling Time): Tento čas je označován ts a lze ho vypočítat pomocí vzorce pro čas ustálení. Čas, který odpověď potřebuje, aby dosáhla a zůstala uvnitř určitého rozsahu (asi 2-5 %) své konečné hodnoty poprvé, se nazývá čas ustálení. Čas ustálení je jasně znázorněn v časové odezvě specifikace křivky.
Maximální přetlak (Maximum Overshoot): Výrazně (obecně) v procentech stacionární hodnoty a definován jako maximální pozitivní odchylka odpovědi od požadované hodnoty. Zde je požadovaná hodnota stacionární hodnota.
Stacionární chyba (Steady state error): Definována jako rozdíl mezi skutečným výstupem a požadovaným výstupem, když čas tenduje k nekonečnu. Nyní jsme připraveni provést časovou analýzu prvního řádu systému.
Přechodná a stacionární odezva prvního řádu řídicího systému
Uvažme blokový diagram prvního řádu systému.
Z tohoto blokového diagramu můžeme najít celkovou přenosovou funkci, která je lineární. Přenosová funkce prvního řádu systému je 1/((sT+1)). Budeme analyzovat stacionární a přechodnou odezvu řídicího systému pro následující standardní signál.
Jednotkový impuls.
Jednotkový skok.
Jednotkový rampa.
Odezva na jednotkový impuls : Máme Laplaceovu transformaci jednotkového impulzu 1. Nyní dejme tento standardní vstup do prvního řádu systému, máme
Nyní vezmeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice, máme
Je jasné, že stacionární odezva řídicího systému závisí pouze na čase konstanty 'T' a je v podstatě ubývající.
Odezva na jednotkový skok: Laplaceova transformace pro vstup jednotkového skoku je 1/s. Aplikujeme to na první řád systému, abychom analyzovali jeho dopady na chování systému.
S pomocí parciálních zlomků, vezmeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice, máme
Je jasné, že časová odezva závisí pouze na čase konstanty 'T'. V tomto případě je stacionární chyba nulová, pokud položíme limitu t blížící se k nule.
Odezva na jednotkovou rampu : Máme Laplaceovu transformaci jednotkového impulzu 1/s².
Nyní dejme tento standardní vstup do prvního řádu systému, máme
S pomocí parciálních zlomků, vezmeme inverzní Laplaceovu transformaci výše uvedené rovnice, máme
Na vykreslení exponenciální funkce času máme 'T', pokud položíme limitu t blížící se k nule.
Přechodná a stacionární odezva druhého řádu řídicího systému
Uvažme blokový diagram druhého řádu systému.
Z tohoto blokového diagramu můžeme najít celkovou přenosovou funkci, která je nelineární. Přenosová funkce druhého řádu systému je (ω²) / {s (s + 2ζω)}. Budeme analyzovat přechodnou odezvu řídicího systému pro následující standardní signál.
Odezva na jednotkový impuls : Máme Laplaceovu transformaci jednotkového impulzu 1. Nyní dejme tento standardní vstup do druhého řádu systému, máme
Kde ω je přirozená frekvence v rad/sec a ζ je tlumící poměr.
Odezva na jednotkový skok : Máme Laplaceovu transformaci jednotkového impulzu 1/s. Nyní dejme tento standardní vstup do prvního řádu systému, máme
Nyní si prohlédneme vliv různých hodnot ζ na odezvu. Máme tři typy systémů na základě různých hodnot ζ.
Podtlumený systém (Under Damped System): Definován tlumícím poměrem (ζ) menším než jedna, tento systém má komplexní kořeny s negativními reálnými částmi, což zajišťuje asymptotickou stabilitu a kratší rozběhový čas s nějakým přetlakem.
Kriticky tlumený systém (Critically Damped System): Systém se nazývá kriticky tlumený, když má hodnotu ζ rovnou jedné. V tomto případě jsou kořeny reálné a jejich reálné části jsou vždy opakující se. Systém je asymptoticky stabilní. Rozběhový čas je v tomto systému menší a není přítomen žádný konečný přetlak.
Nadtlučený systém (Over Damped System): Systém se nazývá nadtlumený, když má hodnotu ζ větší než jedna. V tomto případě jsou kořeny reálné a různé a jejich reálné části jsou vždy negativní. Systém je asymptoticky stabilní. Rozběhový čas je větší než v ostatních systémech a není přítomen žádný konečný přetlak.
Udržené oscilace (Sustained Oscillations): Systém se nazývá udrženě tlumený, když má hodnotu ζ rovnou nule. V tomto případě nedochází k tlumení.
Nyní odvodíme výrazy pro rozběhový čas, čas vrcholu, maximální přetlak, čas ustálení a stacionární chybu s jednotkovým skokem pro druhý řád systému.
Rozběhový čas (Rise Time): Abychom odvodili výraz pro rozběhový čas, musíme rovnici c(t) = 1. Z výše uvedeného máme
Po vyřešení výše uvedené rovnice máme výraz pro rozběhový čas roven
Čas vrcholu (Peak Time): Derivací výrazu c(t) můžeme získat výraz pro čas vrcholu. dc(t)/ dt = 0, máme výraz pro čas vrcholu,
Maximální přetlak (Maximum Overshoot): Je jasné z obrázku, že maximální přetlak nastane v čase vrcholu tp, a proto dosazením hodnoty času vrcholu získáme maximální přetlak jako
Čas ustálení (Settling Time): Čas ustálení je dáno výrazem
Stacionární chyba (Steady State Error): Stacionární chyba je rozdílem mezi skutečným výstupem a požadovaným výstupem, a tedy když čas tenduje k nekonečnu, stacionární chyba je nulová.
