Преходно и устойчиво състояние на отговор в система за управление

Преходна реакция на контролния систем

Както подсказва името, преходната реакция на контролния систем означава промяна, която се случва предимно след две условия. Тези два условия са:

Първо условие: Веднага след включване на системата, т.е. в момент на прилагане на входен сигнал към системата.

Второ условие: След всякакви аномални условия. Аномалните условия могат да включват внезапна промяна на натоварването, късо замыкание и т.н.

Устойчивостта на реакцията на контролния систем

Устойчивостта настъпва, след като системата се стабилизира и започне да работи нормално. Устойчивата реакция на контролния систем е функция на входния сигнал и се нарича и принудена реакция.

Преходната реакция на контролния систем дава ясно описание как системата функционира по време на преходното състояние, а устойчивата реакция на контролния систем дава ясно описание как системата функционира по време на устойчивото състояние.

Ето защо временния анализ на двете състояния е много важен. Ще анализираме отделно двете типа реакции. Нека първо анализираме преходната реакция. За да анализираме преходната реакция, имаме някои временни спецификации, които са:

Забавяне: Означава се с td и този показател измерва колко време отнема на реакцията да достигне петдесет процента от крайната си стойност за първи път.

Време на нарастване: Това време се означава с tr и може да бъде изчислено с формулата за време на нарастване. Определяме времето на нарастване в два случая:

В случай на недостатъчно демпфирани системи, когато стойността на ζ е по-малка от едно, в този случай времето на нарастване се дефинира като времето, необходимо за реакцията да достигне от нулева стойност до сто процента от крайната стойност.

В случай на прекомерно демпфирани системи, когато стойността на ζ е по-голяма от едно, в този случай времето на нарастване се дефинира като времето, необходимо за реакцията да достигне от десет процента до деветдесет процента от крайната стойност.

Време на върха: Това време се означава с tp. Времето, необходимо за реакцията да достигне върховата си стойност за първи път, се нарича време на върха. Времето на върха е ясно показано в кривата на спецификациите на временна реакция.

Време за стабилизиране: Това време се означава с ts и може да бъде изчислена с формулата за време за стабилизиране. Времето, необходимо за реакцията да достигне и да се задържи в определен диапазон (около два процента до пет процента) от крайната си стойност за първи път, се нарича време за стабилизиране. Времето за стабилизиране е ясно показано в кривата на спецификациите на временна реакция.

Максимално превишаване: То се изразява (в общия случай) в проценти от устойчивата стойност и се дефинира като максималното положително отклонение на реакцията от желаната си стойност. Желаната стойност е устойчивата стойност.

Грешка в устойчивото състояние: Дефинирана като разликата между реалния изход и желания изход, когато времето клони към безкрайност. Сега сме в състояние да направим временен анализ на система от първи ред.

Преходно и устойчиво състояние на система от първи ред

Нека разгледаме блок-схемата на системата от първи ред.

От тази блок-схема можем да намерим общата передаточна функция, която е линейна по своята природа. Передаточната функция на системата от първи ред е 1/((sT+1)). Ще анализираме устойчивата и преходната реакция на контролния систем за следните стандартни сигнали.

• Единичен импулс.

• Единична стъпка.

• Единична рампа.

Реакция на единичен импулс: Имаме Лапласово преобразуване на единичния импулс, което е 1. Сега нека дадем този стандартен вход на система от първи ред, имаме

Сега, вземайки обратното Лапласово преобразуване на горното уравнение, имаме

Ясно е, че устойчивата реакция на контролния систем зависи само от времевата константа 'T' и е затихваща по своята природа.

Реакция на единична стъпка: Лапласовото преобразуване за единичен входен сигнал е 1/s. Прилагайки това към система от първи ред, анализираме влиянието му върху поведението на системата.

С помощта на частични дроби, вземайки обратното Лапласово преобразуване на горното уравнение, имаме

Ясно е, че временният отговор зависи само от времевата константа 'T'. В този случай грешката в устойчивото състояние е нула, като слагаме границата t, която клони към нула.

Реакция на единична рампа: Имаме Лапласово преобразуване на единичната рампа, което е 1/s^2.

Сега нека дадем този стандартен вход на система от първи ред, имаме

С помощта на частични дроби, вземайки обратното Лапласово преобразуване на горното уравнение, имаме

При изчертаване на експоненциалната функция на времето имаме 'T', като слагаме границата t, която клони към нула.

Преходно и устойчиво състояние на система от втори ред

Нека разгледаме блок-схемата на системата от втори ред.

От тази блок-схема можем да намерим общата передаточна функция, която е нелинейна по своята природа. Передаточната функция на системата от втори ред е (ω^2) / {s (s + 2ζω)}. Ще анализираме преходната реакция на контролния систем за следните стандартни сигнали.

Реакция на единичен импулс: Имаме Лапласово преобразуване на единичния импулс, което е 1. Сега нека дадем този стандартен вход на система от втори ред, имаме

Където, ω е естествената честота в рад/сек и ζ е демпфируващо отношение.

Реакция на единична стъпка: Имаме Лапласово преобразуване на единичния импулс, което е 1/s. Сега нека дадем този стандартен вход на система от първи ред, имаме

Сега ще видим ефекта на различни стойности на ζ върху реакцията. Имаме три типа системи в зависимост от различните стойности на ζ.

Недостатъчно демпфирани системи: Определени с демпфируващо отношение (ζ), по-малко от едно, тези системи имат комплексни корени с отрицателни реални части, осигурявайки асимптотична стабилност и по-кратко време на нарастване с някакво превишаване.

Критично демпфирани системи: Системата се нарича критично демпфирани, когато стойността на ζ е едно. В този случай корените са реални по своята природа и реалните части са винаги повторяващи се. Системата е асимптотично стабилна. Времето на нарастване е по-малко в тази система и няма наличието на краен превишаване.

Прекомерно демпфирани системи: Системата се нарича прекомерно демпфирани, когато стойността на ζ е по-голяма от едно. В този случай корените са реални и различни по своята природа и реалните части са винаги отрицателни. Системата е асимптотично стабилна. Времето на нарастване е по-голямо от другите системи и няма наличието на краен превишаване.

Поддържане на колебания: Системата се нарича поддържащи колебания, когато стойността на zeta е нула. В този случай няма демпфирование.

Сега нека изведем изразите за времето на нарастване, времето на върха, максималното превишаване, времето за стабилизиране и грешката в устойчивото състояние с единичен входен сигнал за система от втори ред.

Време на нарастване: За да изведем израза за времето на нарастване, трябва да приравним израза за c(t) = 1. От горното имаме

Решавайки горното уравнение, имаме израз за времето на нарастване, равен на

Време на върха: Диференцирайки израза за c(t), можем да получим израза за времето на върха. dc(t)/ dt = 0, имаме израз за времето на върха,

Максимално превишаване: Сега е ясно от фигурата, че максималното превишаване ще се появи на времето на върха tp, така че, като сложим стойността на времето на върха, ще получим максималното превишаване като

Време за стабилизиране: Времето за стабилизиране се дава от израза

Грешка в устойчивото състояние: Грешката в устойчивото състояние е разликата между реалния изход и желания изход, така че, когато времето клони към безкрайност, грешката в устойчивото състояние е нула.