Odpowiedź przejściowa i ustalona w systemie sterowania

Odpowiedź przejściowa systemu sterowania

Jak sama nazwa wskazuje, odpowiedź przejściowa systemu sterowania oznacza zmianę, która występuje głównie po dwóch warunkach, które są zapisane poniżej:

Warunek pierwszy : W chwili włączenia systemu, to znaczy w momencie podania sygnału wejściowego do systemu.

Warunek drugi : Po jakichkolwiek nietypowych warunkach. Nietypowe warunki mogą obejmować nagłe zmiany obciążenia, zwarcia itp.

Odpowiedź ustalona systemu sterowania

Stan ustalony występuje po osiągnięciu przez system stabilności, a w tym stanie system zaczyna działać normalnie. Odpowiedź ustalona systemu sterowania jest funkcją sygnału wejściowego i nazywana jest również wymuszoną odpowiedzią.

Odpowiedź przejściowa systemu sterowania daje jasny opis działania systemu w stanie przejściowym, a odpowiedź ustalona systemu sterowania daje jasny opis działania systemu w stanie ustalonym. Czasowa analiza obu stanów jest bardzo istotna. Przeanalizujemy oddzielnie oba typy odpowiedzi. Najpierw przeanalizujmy odpowiedź przejściową. Aby przeanalizować odpowiedź przejściową, mamy pewne specyfikacje czasowe, które są zapisane poniżej:

Czas opóźnienia: Oznaczony jako td, ten wskaźnik mierzy, ile trwa, aby odpowiedź osiągnęła pięćdziesiąt procent swojej końcowej wartości po raz pierwszy.

Czas narastania: Ten czas jest oznaczony jako tr, i może być obliczony za pomocą wzoru na czas narastania. Definiujemy czas narastania w dwóch przypadkach:

W przypadku niedobudowanych systemów, gdzie wartość ζ jest mniejsza niż jeden, w tym przypadku czas narastania jest definiowany jako czas potrzebny, aby odpowiedź przeszła od wartości zero do stu procent końcowej wartości.

W przypadku nadbudowanych systemów, gdzie wartość ζ jest większa niż jeden, w tym przypadku czas narastania jest definiowany jako czas potrzebny, aby odpowiedź przeszła od dziesięciu procent do dziewięćdziesięciu procent końcowej wartości.

Czas szczytu: Ten czas jest oznaczony jako tp. Czas potrzebny, aby odpowiedź osiągnęła wartość szczytową po raz pierwszy, ten czas nazywany jest czasem szczytu. Czas szczytu jest wyraźnie pokazany na krzywej specyfikacji odpowiedzi czasowej.

Czas ustalania: Ten czas jest oznaczony jako ts, i może być obliczony za pomocą wzoru na czas ustalania. Czas potrzebny, aby odpowiedź osiągnęła i znalazła się w określonym zakresie (od dwóch do pięciu procent) swojej końcowej wartości po raz pierwszy, ten czas nazywany jest czasem ustalania. Czas ustalania jest wyraźnie pokazany na krzywej specyfikacji odpowiedzi czasowej.

Maksymalne przeregulowanie: Jest wyrażone (ogólnie) w procentach wartości ustalonej i jest zdefiniowane jako maksymalne dodatnie odchylenie odpowiedzi od jej żądanej wartości. Wartością żądaną jest wartość ustalona.

Błąd ustalony: Zdefiniowany jako różnica między rzeczywistym wyjściem a żądanym wyjściem, gdy czas dąży do nieskończoności. Teraz jesteśmy gotowi do analizy odpowiedzi czasowej systemu pierwszego rzędu.

Odpowiedź przejściowa i ustalona systemu sterowania pierwszego rzędu

Rozważmy diagram blokowy systemu pierwszego rzędu.

Na podstawie tego diagramu blokowego możemy znaleźć całkowitą funkcję przenoszenia, która jest liniowa. Funkcja przenoszenia systemu pierwszego rzędu wynosi 1/((sT+1)). Będziemy analizować odpowiedź ustaloną i przejściową systemu sterowania dla następujących standardowych sygnałów.

• Jednostkowy impuls.

• Jednostkowy skok.

• Jednostkowa rampa.

Odpowiedź na jednostkowy impuls : Mamy transformatę Laplace'a jednostkowego impulsu równą 1. Teraz podajmy ten standardowy sygnał do systemu pierwszego rzędu, mamy

Teraz biorąc odwrotną transformatę Laplace'a powyższego równania, mamy

Jest jasne, że odpowiedź ustalona systemu sterowania zależy tylko od stałej czasowej 'T' i jest charakterystyczna dla zaniku.

Odpowiedź na jednostkowy skok: Transformata Laplace'a dla jednostkowego skoku wejściowego wynosi 1/s. Stosując to do systemu pierwszego rzędu, analizujemy jego wpływ na zachowanie systemu.

Pomocniczo, biorąc odwrotną transformatę Laplace'a powyższego równania, mamy

Jest jasne, że odpowiedź czasowa zależy tylko od stałej czasowej 'T'. W tym przypadku błąd ustalony wynosi zero, gdy granica t dąży do zera.

Odpowiedź na jednostkową rampę : Mamy transformatę Laplace'a jednostkowej rampy równą 1/s 2.

Teraz podajmy ten standardowy sygnał do systemu pierwszego rzędu, mamy

Pomocniczo, biorąc odwrotną transformatę Laplace'a powyższego równania, mamy

Przedstawiając funkcję wykładniczą czasu, mamy 'T', gdy granica t dąży do zera.

Odpowiedź przejściowa i ustalona systemu sterowania drugiego rzędu

Rozważmy diagram blokowy systemu drugiego rzędu.

Na podstawie tego diagramu blokowego możemy znaleźć całkowitą funkcję przenoszenia, która jest nieliniowa. Funkcja przenoszenia systemu drugiego rzędu wynosi (ω2) / {s (s + 2ζω)}. Będziemy analizować odpowiedź przejściową systemu sterowania dla następujących standardowych sygnałów.

Odpowiedź na jednostkowy impuls : Mamy transformatę Laplace'a jednostkowego impulsu równą 1. Teraz podajmy ten standardowy sygnał do systemu drugiego rzędu, mamy

Gdzie, ω to częstotliwość naturalna w rad/sec, a ζ to współczynnik tłumienia.

Odpowiedź na jednostkowy skok : Mamy transformatę Laplace'a jednostkowego skoku równą 1/s. Teraz podajmy ten standardowy sygnał do systemu pierwszego rzędu, mamy

Teraz zobaczymy efekt różnych wartości ζ na odpowiedź. Mamy trzy typy systemów w zależności od różnych wartości ζ.

Niedobudowany system: Zdefiniowany przez współczynnik tłumienia (ζ) mniejszy niż jeden, ten system cechuje się zespolonymi pierwiastkami o ujemnych częściach rzeczywistych, zapewniając asymptotyczną stabilność i krótszy czas narastania z pewnym przeregulowaniem.

Krytycznie dobrany system : System jest krytycznie dobrany, gdy wartość ζ wynosi jeden. W tym przypadku pierwiastki są rzeczywiste i ich części rzeczywiste są zawsze powtarzające się. System jest asymptotycznie stabilny. Czas narastania jest mniejszy w tym systemie i nie ma obecności skończonego przeregulowania.

Nadbudowany system : System jest nadbudowany, gdy wartość ζ jest większa niż jeden. W tym przypadku pierwiastki są rzeczywiste i różne, a ich części rzeczywiste są zawsze ujemne. System jest asymptotycznie stabilny. Czas narastania jest większy niż w innych systemach i nie ma obecności skończonego przeregulowania.

Utrzymane oscylacje : System jest utrzymywany, gdy wartość zeta wynosi zero. W tym przypadku nie występuje tłumienie.

Teraz wyprowadźmy wyrażenia dla czasu narastania, czasu szczytu, maksymalnego przeregulowania, czasu ustalania i błędu ustalonego dla systemu drugiego rzędu z jednostkowym skokiem wejściowym.

Czas narastania : Aby wyprowadzić wyrażenie na czas narastania, musimy przyrównać wyrażenie dla c(t) = 1. Na podstawie powyższego mamy

Rozwiązując powyższe równanie, mamy wyrażenie na czas narastania równe

Czas szczytu : Różniczkując wyrażenie c(t), możemy otrzymać wyrażenie na czas szczytu. dc(t)/ dt = 0, mamy wyrażenie na czas szczytu,

Maksymalne przeregulowanie : Teraz jest jasne z rysunku, że maksymalne przeregulowanie wystąpi w czasie szczytu tp, więc podstawiając wartość czasu szczytu, otrzymamy maksymalne przeregulowanie jako

Czas ustalania : Czas ustalania jest dany wyrażeniem

Błąd ustalony : Błąd ustalony to różnica między rzeczywistym wyjściem a wyjściem żądanym, więc gdy czas dąży do nieskończoności, błąd ustalony wynosi zero.