การตอบสนองชั่วขณะและการตอบสนองในภาวะคงที่ในระบบควบคุม

การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุม

ตามชื่อที่แสดง การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุมหมายถึงการเปลี่ยนแปลง ซึ่งเกิดขึ้นหลังจากสองเงื่อนไข และสองเงื่อนไขเหล่านี้เขียนไว้ดังต่อไปนี้-

เงื่อนไขที่หนึ่ง : เพียงแค่เปิดระบบ หมายความว่า เมื่อมีการใช้สัญญาณป้อนเข้าสู่ระบบ

เงื่อนไขที่สอง : เมื่อมีสภาพผิดปกติ เช่น การเปลี่ยนแปลงอย่างฉับพลันของโหลด การลัดวงจร ฯลฯ

การตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุม

ภาวะคงที่เกิดขึ้นหลังจากระบบได้รับการปรับตัวแล้ว และระบบเริ่มทำงานอย่างปกติ การตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุมเป็นฟังก์ชันของสัญญาณป้อนเข้า และเรียกว่าการตอบสนองบังคับ

ตอนนี้ การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุมให้คำอธิบายอย่างชัดเจนว่าระบบทำงานอย่างไรในช่วงชั่วคราว และการตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุมให้คำอธิบายอย่างชัดเจนว่าระบบทำงานอย่างไรในภาวะคงที่ 

ดังนั้น การวิเคราะห์เวลาของทั้งสองสถานะจึงมีความสำคัญมาก เราจะวิเคราะห์ทั้งสองประเภทของการตอบสนองแยกกัน ขอเริ่มจากการวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราว ในฐานะที่เราจะวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราว เราจะมีค่าพารามิเตอร์ทางเวลาบางอย่างและเขียนไว้ดังต่อไปนี้:

เวลาล่าช้า (Delay Time): แทนด้วย td ค่านี้วัดว่าต้องใช้เวลานานเท่าใดในการตอบสนองเพื่อให้ถึงค่าสุดท้ายร้อยละห้าสิบเป็นครั้งแรก

เวลาขึ้น (Rise Time): เวลานี้แทนด้วย tr และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเวลาขึ้น เรากำหนดเวลาขึ้นในสองกรณี:

ในกรณีของระบบที่ไม่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนมากพอ (under damped) ซึ่งค่าของ ζ น้อยกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้ เวลาขึ้นถูกกำหนดเป็นเวลาที่ต้องการสำหรับการตอบสนองเพื่อให้ถึงจากค่าศูนย์ถึงค่าสุดท้ายร้อยละหนึ่งร้อย

ในกรณีของระบบที่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนมากเกินไป (over damped) ซึ่งค่าของ ζ มากกว่าหนึ่ง ในกรณีนี้ เวลาขึ้นถูกกำหนดเป็นเวลาที่ต้องการสำหรับการตอบสนองเพื่อให้ถึงจากค่าสุดท้ายร้อยละสิบถึงร้อยละเก้าสิบ

เวลาสูงสุด (Peak Time): เวลานี้แทนด้วย tp คือเวลาที่ต้องการสำหรับการตอบสนองเพื่อให้ถึงค่าสูงสุดเป็นครั้งแรก เวลานี้แสดงอย่างชัดเจนในเส้นโค้งการกำหนดค่าเวลาตอบสนอง

เวลาที่ตั้งตัว (Settling Time): เวลานี้แทนด้วย ts และสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเวลาที่ตั้งตัว คือเวลาที่ต้องการสำหรับการตอบสนองเพื่อให้ถึงและอยู่ภายในช่วงที่ระบุประมาณ (ร้อยละสองถึงร้อยละห้า) ของค่าสุดท้ายเป็นครั้งแรก เวลานี้แสดงอย่างชัดเจนในเส้นโค้งการกำหนดค่าเวลาตอบสนอง

การเกินสูงสุด (Maximum Overshoot): แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าภาวะคงที่ และถูกกำหนดเป็นการเบี่ยงเบนในเชิงบวกสูงสุดของการตอบสนองจากค่าที่ต้องการ ที่นี่ค่าที่ต้องการคือค่าภาวะคงที่

ความผิดพลาดภาวะคงที่: ถูกกำหนดเป็นความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ที่แท้จริงและผลลัพธ์ที่ต้องการเมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์ ตอนนี้เราพร้อมที่จะทำการวิเคราะห์การตอบสนองเวลาของระบบลำดับที่หนึ่ง

การตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุมลำดับที่หนึ่ง

ขอพิจารณาแผนภาพบล็อกของระบบลำดับที่หนึ่ง

จากแผนภาพบล็อกนี้ เราสามารถหาฟังก์ชันการถ่ายโอนรวมที่เป็นเชิงเส้นได้ ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบลำดับที่หนึ่งคือ 1/((sT+1)) เราจะวิเคราะห์การตอบสนองภาวะคงที่และการตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุมสำหรับสัญญาณมาตรฐานต่อไปนี้

• สัญญาณกระตุ้นหน่วย

• สัญญาณขั้นตอนหน่วย

• สัญญาณแรมป์หน่วย

การตอบสนองสัญญาณกระตุ้นหน่วย : เรามีการแปลงลาปลาซของสัญญาณกระตุ้นหน่วยคือ 1 ตอนนี้ขอให้เราให้สัญญาณมาตรฐานนี้แก่ระบบลำดับที่หนึ่ง เราได้

ตอนนี้นำการแปลงลาปลาซกลับของสมการข้างต้น เราได้

ชัดเจนว่าการตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุมขึ้นอยู่กับค่าคงที่เวลา 'T' และมีลักษณะเป็นการลดลง

การตอบสนองสัญญาณขั้นตอนหน่วย: การแปลงลาปลาซสำหรับสัญญาณขั้นตอนหน่วยคือ 1/s นำสัญญาณนี้มาใช้กับระบบลำดับที่หนึ่ง เราจะวิเคราะห์ผลกระทบต่อพฤติกรรมของระบบ

ด้วยความช่วยเหลือของการแยกเศษส่วน นำการแปลงลาปลาซกลับของสมการข้างต้น เราได้

ชัดเจนว่าการตอบสนองตามเวลาขึ้นอยู่กับค่าคงที่เวลา 'T' ในกรณีนี้ความผิดพลาดภาวะคงที่เป็นศูนย์โดยการใส่ขีดจำกัด t ที่เข้าใกล้ศูนย์

การตอบสนองสัญญาณแรมป์หน่วย : เรามีการแปลงลาปลาซของสัญญาณกระตุ้นหน่วยคือ 1/s 2.

ตอนนี้ขอให้เราให้สัญญาณมาตรฐานนี้แก่ระบบลำดับที่หนึ่ง เราได้

ด้วยความช่วยเหลือของการแยกเศษส่วน นำการแปลงลาปลาซกลับของสมการข้างต้น เราได้

เมื่อวาดฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลตามเวลา เราได้ 'T' โดยการใส่ขีดจำกัด t ที่เข้าใกล้ศูนย์

การตอบสนองชั่วคราวและการตอบสนองภาวะคงที่ของระบบควบคุมลำดับที่สอง

ขอพิจารณาแผนภาพบล็อกของระบบลำดับที่สอง

จากแผนภาพบล็อกนี้ เราสามารถหาฟังก์ชันการถ่ายโอนรวมที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้ ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบลำดับที่สองคือ (ω2) / {s (s + 2ζω )} เราจะวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราวของระบบควบคุมสำหรับสัญญาณมาตรฐานต่อไปนี้

การตอบสนองสัญญาณกระตุ้นหน่วย : เรามีการแปลงลาปลาซของสัญญาณกระตุ้นหน่วยคือ 1 ตอนนี้ขอให้เราให้สัญญาณมาตรฐานนี้แก่ระบบลำดับที่สอง เราได้

ที่นี่ ω คือความถี่ธรรมชาติในหน่วยเรเดียน/วินาที และ ζ คืออัตราส่วนการลดแรงสั่นสะเทือน

การตอบสนองสัญญาณขั้นตอนหน่วย : เรามีการแปลงลาปลาซของสัญญาณกระตุ้นหน่วยคือ 1/s ตอนนี้ขอให้เราให้สัญญาณมาตรฐานนี้แก่ระบบลำดับที่หนึ่ง เราได้

ตอนนี้เราจะดูผลกระทบของค่า ζ ที่แตกต่างกันต่อการตอบสนอง เรามีสามประเภทของระบบตามค่า ζ ที่แตกต่างกัน

ระบบที่ไม่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนมากพอ (Under Damped System): ระบบที่มีอัตราส่วนการลดแรงสั่นสะเทือน (ζ) น้อยกว่าหนึ่ง ระบบนี้มีรากที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนและมีส่วนจริงเป็นลบ ทำให้มีความมั่นคงแบบเส้นกำกับและมีเวลาขึ้นที่สั้นพร้อมกับการเกินสูงสุดเล็กน้อย

ระบบที่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนพอดี (Critically Damped System) : ระบบที่มีค่า ζ เป็นหนึ่ง ระบบนี้มีรากที่เป็นจำนวนจริงและมีส่วนจริงที่ซ้ำกัน ระบบนี้มีความมั่นคงแบบเส้นกำกับ มีเวลาขึ้นที่สั้นและไม่มีการเกินสูงสุด

ระบบที่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนมากเกินไป (Over Damped System) : ระบบที่มีค่า ζ มากกว่าหนึ่ง ระบบนี้มีรากที่เป็นจำนวนจริงและแตกต่างกันและมีส่วนจริงเป็นลบ ระบบนี้มีความมั่นคงแบบเส้นกำกับ มีเวลาขึ้นที่ยาวกว่าระบบที่ไม่ได้รับการลดแรงสั่นสะเทือนมากพอและไม่มีการเกินสูงสุด

การสั่นสะเทือนที่ยั่งยืน (Sustained Oscillations) : ระบบที่มีค่า zeta เป็นศูนย์ ไม่มีการลดแรงสั่นสะเทือนเกิดขึ้นในกรณีนี้

ตอนนี้ขอให้เราสร้างสูตรสำหรับเวลาขึ้น เวลาสูงสุด การเกินสูงสุด เวลาที่ตั้งตัว และความผิดพลาดภาวะคงที่สำหรับสัญญาณขั้นตอนหน่วยของระบบลำดับที่สอง

เวลาขึ้น (Rise Time) : เพื่อสร้างสูตรสำหรับเวลาขึ้น เราต้องเท่ากับ c(t) = 1 จากข้างต้นเราได้

เมื่อแก้สมการข้างต้น เราได้สูตรสำหรับเวลาขึ้นเท่ากับ

เวลาสูงสุด (Peak Time) : โดยการหาอนุพันธ์ของ c(t) เราสามารถได้สูตรสำหรับเวลาสูงสุด dc(t)/ dt = 0 เราได้สูตรสำหรับเวลาสูงสุด

การเกินสูงสุด (Maximum Overshoot) : ชัดเจนจากภาพว่าการเกินสูงสุดจะเกิดขึ้นที่เวลาสูงสุด tp ดังนั้นเมื่อใส่ค่าเวลาสูงสุด เราจะได้การเกินสูงสุดเป็น

เวลาที่ตั้งตัว (Settling Time) : เวลาที่ตั้งตัวกำหนดโดยสูตร

ความผิดพลาดภาวะคงที่ (Steady State Error) : ความผิดพลาดภาวะคงที่คือความแตกต่างระหว่างผลลัพธ์ที่แท้จริงและผลลัพธ์ที่ต้องการ ดังนั้นเมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์ ความผิดพลาดภาวะคงที่เป็นศูนย์