پاسخ موقت و حالت ماندگار در یک سیستم کنترل

پاسخ موقت سیستم کنترل

همان‌طور که از نام آن پیداست، پاسخ موقت سیستم کنترل به معنای تغییر است. این وضعیت در دو شرط اصلی رخ می‌دهد و این دو شرط به صورت زیر نوشته شده‌اند:

شرط اول : فقط پس از روشن کردن سیستم یعنی در زمان اعمال سیگنال ورودی به سیستم.

شرط دوم : فقط پس از هر شرایط غیرعادی. شرایط غیرعادی می‌تواند شامل تغییر ناگهانی بار، کوتاه‌شدن مدار و غیره باشد.

پاسخ حالت پایدار سیستم کنترل

حالت پایدار پس از آن رخ می‌دهد که سیستم استقرار یافته و شروع به کار به طور عادی می‌کند. پاسخ حالت پایدار سیستم کنترل یک تابع از سیگنال ورودی است و به آن پاسخ اجباری نیز گفته می‌شود.

حالا پاسخ حالت موقت سیستم کنترل توضیح واضحی از نحوه عملکرد سیستم در حالت موقت و پاسخ حالت پایدار سیستم کنترل توضیح واضحی از نحوه عملکرد سیستم در حالت پایدار ارائه می‌دهد.

بنابراین تحلیل زمانی هر دو حالت بسیار ضروری است. ما به ترتیب هر دو نوع پاسخ را تحلیل خواهیم کرد. ابتدا پاسخ موقت را تحلیل می‌کنیم. برای تحلیل پاسخ موقت، ما چند مشخصه زمانی داریم و آنها به صورت زیر نوشته شده‌اند:

زمان تأخیر: با td نمایش داده می‌شود، این معیار اندازه‌گیری می‌کند که چقدر طول می‌کشد تا پاسخ به اولین بار رسیدن به ۵۰٪ از مقدار نهایی خود.

زمان صعود: این زمان با tr نمایش داده می‌شود و می‌توان آن را با استفاده از فرمول زمان صعود محاسبه کرد. ما زمان صعود را در دو حالت تعریف می‌کنیم:

در حالت سیستم‌های تحت‌دامنه که مقدار ζ کمتر از یک است، در این حالت زمان صعود به عنوان زمان لازم برای رسیدن پاسخ از مقدار صفر به ۱۰۰٪ مقدار نهایی تعریف می‌شود.

در حالت سیستم‌های فراتر از دامنه که مقدار ζ بیشتر از یک است، در این حالت زمان صعود به عنوان زمان لازم برای رسیدن پاسخ از ۱۰٪ مقدار به ۹۰٪ مقدار نهایی تعریف می‌شود.

زمان قله: این زمان با tp نمایش داده می‌شود. زمان لازم برای رسیدن پاسخ به اولین بار به مقدار قله. زمان قله به وضوح در منحنی مشخصات پاسخ زمانی نشان داده می‌شود.

زمان استقرار: این زمان با ts نمایش داده می‌شود و می‌توان آن را با استفاده از فرمول زمان استقرار محاسبه کرد. زمان لازم برای رسیدن پاسخ و در محدوده مشخص (۲٪ تا ۵٪) از مقدار نهایی خود برای اولین بار. زمان استقرار به وضوح در منحنی مشخصات پاسخ زمانی نشان داده می‌شود.

بالا رفتگی حداکثری: به طور کلی به صورت درصدی از مقدار حالت پایدار بیان می‌شود و به عنوان بالاترین انحراف مثبت پاسخ از مقدار مورد نظر تعریف می‌شود. مقدار مورد نظر مقدار حالت پایدار است.

خطای حالت پایدار: به عنوان تفاوت بین خروجی واقعی و خروجی مورد نظر وقتی که زمان به بینهایت میل می‌کند تعریف می‌شود. حالا ما در موقعیتی هستیم که تحلیل پاسخ زمانی یک سیستم مرتبه اول را انجام دهیم.

پاسخ حالت موقت و حالت پایدار سیستم کنترل مرتبه اول

فرض کنید نمودار بلوکی سیستم مرتبه اول را در نظر بگیریم.

از این نمودار بلوکی می‌توان تابع انتقال کلی را که خطی است یافت. تابع انتقال سیستم مرتبه اول ۱/((sT+1)) است. ما قصد داریم پاسخ حالت پایدار و حالت موقت سیستم کنترل را برای سیگنال‌های استاندارد زیر تحلیل کنیم.

• پالس واحد.

• گام واحد.

• رامپ واحد.

پاسخ پالس واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱ داریم. حالا اجازه دهید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

حالا با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق، ما داریم

به وضوح مشخص است که پاسخ حالت پایدار سیستم کنترل فقط به ثابت زمانی 'T' بستگی دارد و ماهیتاً کاهش یافته است.

پاسخ گام واحد: تبدیل لاپلاس برای ورودی گام واحد ۱/s است. با اعمال این ورودی به یک سیستم مرتبه اول، تأثیر آن بر رفتار سیستم را تحلیل می‌کنیم.

با کمک کسرهای جزئی، با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق، ما داریم

به وضوح مشخص است که پاسخ زمانی فقط به ثابت زمانی 'T' بستگی دارد. در این مورد خطای حالت پایدار صفر است با قرار دادن حد t به صفر میل می‌کند.

پاسخ رامپ واحد : ما تبدیل لاپلاس رامپ واحد ۱/s² داریم.

حالا اجازه دهید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

با کمک کسرهای جزئی، با گرفتن تبدیل لاپلاس معکوس معادله فوق ما داریم

با رسم تابع نمایی زمانی ما 'T' با قرار دادن حد t به صفر میل می‌کند.

پاسخ حالت موقت و حالت پایدار سیستم کنترل مرتبه دوم

فرض کنید نمودار بلوکی سیستم مرتبه دوم را در نظر بگیریم.

از این نمودار بلوکی می‌توان تابع انتقال کلی را که غیرخطی است یافت. تابع انتقال سیستم مرتبه دوم (ω²) / {s (s + 2ζω )} است. ما قصد داریم پاسخ حالت موقت سیستم کنترل را برای سیگنال‌های استاندارد زیر تحلیل کنیم.

پاسخ پالس واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱ داریم. حالا اجازه دهید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه دوم بدهیم، ما داریم

که در آن، ω فرکانس طبیعی در رادیان بر ثانیه و ζ نسبت دامپینگ است.

پاسخ گام واحد : ما تبدیل لاپلاس پالس واحد ۱/s داریم. حالا اجازه دهید این ورودی استاندارد را به یک سیستم مرتبه اول بدهیم، ما داریم

حالا تأثیر مقادیر مختلف ζ را روی پاسخ خواهیم دید. ما سه نوع سیستم بر اساس مقادیر مختلف ζ داریم.

سیستم تحت‌دامنه: با نسبت دامپینگ (ζ) کمتر از یک تعریف می‌شود. این سیستم ریشه‌های مختلط با بخش‌های حقیقی منفی دارد که پایداری مجانبی و زمان صعود کوتاه‌تر با بعضی از بالا رفتگی را ارائه می‌دهد.

سیستم بحرانی‌دامنه: یک سیستم وقتی که مقدار ζ یک است به عنوان سیستم بحرانی‌دامنه تعریف می‌شود. در این حالت ریشه‌ها حقیقی هستند و بخش‌های حقیقی همیشه تکراری هستند. سیستم پایدار مجانبی است. زمان صعود در این سیستم کمتر است و وجود بالا رفتگی محدود نیست.

سیستم فراتر از دامنه: یک سیستم وقتی که مقدار ζ بیشتر از یک است به عنوان سیستم فراتر از دامنه تعریف می‌شود. در این حالت ریشه‌ها حقیقی و متمایز هستند و بخش‌های حقیقی همیشه منفی هستند. سیستم پایدار مجانبی است. زمان صعود بیشتر از سایر سیستم‌ها است و وجود بالا رفتگی محدود نیست.

نوسانات پایدار: یک سیستم وقتی که مقدار zeta صفر است به عنوان سیستم پایدار تعریف می‌شود. در این حالت دامپینگی رخ نمی‌دهد.

حالا بیایید عبارات را برای زمان صعود، زمان قله، بالا رفتگی حداکثری، زمان استقرار و خطای حالت پایدار با ورودی گام واحد برای سیستم مرتبه دوم بدست آوریم.

زمان صعود: برای بدست آوردن عبارت زمان صعود باید عبارت c(t) = 1 را مساوی قرار دهیم. از بالا داریم

با حل معادله فوق عبارت زمان صعود برابر است با

زمان قله: با مشتق گرفتن از عبارت c(t) می‌توان عبارت زمان قله را بدست آورد. dc(t)/ dt = 0 عبارت زمان قله را داریم

بالا رفتگی حداکثری: حالا از شکل به وضوح مشخص است که بالا رفتگی حداکثری در زمان قله tp رخ می‌دهد بنابراین با قرار دادن مقدار زمان قله بالا رفتگی حداکثری به صورت زیر خواهد بود

زمان استقرار: زمان استقرار با عبارت زیر داده می‌شود

خطای حالت پایدار: خطای حالت پایدار تفاوت بین خروجی واقعی و خروجی مورد نظر است بنابراین وقتی زمان به بینهایت میل می‌کند خطای حالت پایدار صفر است.