Transient- och stationärt tillståndssvar i ett reglersystem

Övergångsrespons av reglersystem

Som namnet antyder, innebär övergångsresponsen av ett reglersystem förändring, vilket huvudsakligen inträffar efter två villkor, och dessa två villkor är nedan:

Villkor ett : Direkt efter att systemet har slåits på, det vill säga vid tillfället då inmatningssignalen appliceras på systemet.

Villkor två : Direkt efter några ovanliga förhållanden. Ovanliga förhållanden kan inkludera plötslig ändring i belastningen, kortslutning etc.

Stabil respons av reglersystem

Stabil tillstånd inträffar efter att systemet har stabiliserat sig och börjar fungera normalt. Stabil respons av reglersystem är en funktion av inmatningssignalen och kallas också tvingad respons.

Nu ger övergångsstatens respons av reglersystem en tydlig beskrivning av hur systemet fungerar under övergångstillstånd, medan stabil respons av reglersystem ger en tydlig beskrivning av hur systemet fungerar under stabilt tillstånd. 

Därför är tidsanalysen av båda tillstånden mycket viktig. Vi kommer att analysera båda typerna av responser separat. Låt oss först analysera övergångsresponsen. För att analysera övergångsresponsen har vi vissa tidsspecifikationer, och de är nedan:

Fördröjningstid: Representeras av td, denna mätning mäter hur lång tid det tar för svaret att nå femtio procent av sitt slutvärde första gången.

Uppstigningstid: Denna tid representeras av tr, och kan beräknas med hjälp av uppstigningstidsformeln. Vi definierar uppstigningstid i två fall:

I fallet med underdemperade system där värdet på ζ är mindre än ett, definieras uppstigningstiden som den tid det tar för svaret att nå från noll till hundra procent av slutvärdet.

I fallet med överdemperade system där värdet på ζ är större än ett, definieras uppstigningstiden som den tid det tar för svaret att nå från tio procent till nittio procent av slutvärdet.

Topp-tid: Denna tid representeras av tp. Den tid det tar för svaret att nå toppvärdet för första gången, kallas denna tid för topp-tid. Topp-tid visas tydligt i tidsresponsens specifikationskurva.

Utnivelleringstid: Denna tid representeras av ts, och kan beräknas med hjälp av utnivelleringstidsformeln. Den tid det tar för svaret att nå och inom det angivna intervallet (två procent till fem procent) av sitt slutvärde för första gången, kallas denna tid för utnivelleringstid. Utnivelleringstid visas tydligt i tidsresponsens specifikationskurva.

Maximal överskott: Det uttrycks (i allmänhet) i procentenheter av det stabila tillståndets värde och definieras som den maximala positiva avvikelsen av svaret från dess önskade värde. Här är det önskade värdet det stabila tillståndets värde.

Stabilt tillstånds fel: Definieras som skillnaden mellan den faktiska utgången och den önskade utgången när tiden går mot oändligheten. Nu är vi redo att göra en tidsresponsanalys av ett första ordningens system.

Övergångs- och stabilt tillstånds respons av ett första ordningens reglersystem

Låt oss betrakta blockdiagrammet för det första ordningens system.

Från detta blockdiagram kan vi hitta den totala överföringsfunktionen, vilken är linjär i sin natur. Överföringsfunktionen för det första ordningens system är 1/((sT+1)). Vi ska analysera det stabila och övergångsresponderande kontrollsystemet för följande standardsignal.

• Enhetsimpuls.

• Enhetssteg.

• Enhetssluttning.

Enhetsimpulsrespons : Vi har Laplacetransformen av enhetsimpulsen är 1. Låt oss nu ge denna standardsignal till ett första ordningens system, vi har

Genom att ta invers Laplacetransformen av ovanstående ekvation, har vi

Det är klart att den stabila responsen av kontrollsystemet beror endast på tidskonstanten 'T' och den är avtagande i sin natur.

Enhetsstegsrespons: Laplacetransformen för enhetsstegsinmatningen är 1/s. Genom att tillämpa detta på ett första ordningens system, analyserar vi dess effekter på systemets beteende.

Med hjälp av partiella fraktioner, genom att ta invers Laplacetransformen av ovanstående ekvation, har vi

Det är klart att tidsresponsen beror endast på tidskonstanten 'T'. I detta fall är det stabila felet noll genom att sätta gränsen t tenderar mot noll.

Enhetssluttningssvar: Vi har Laplacetransformen av enhetsimpulsen är 1/s 2.

Nu låt oss ge denna standardsignal till ett första ordningens system, vi har

Med hjälp av partiella fraktioner, genom att ta invers Laplacetransformen av ovanstående ekvation, har vi

Vid plottning av exponentiella funktioner av tid har vi 'T' genom att sätta gränsen t tenderar mot noll.

Övergångs- och stabilt tillstånds respons av ett andra ordningens reglersystem

Låt oss betrakta blockdiagrammet för det andra ordningens system.

Från detta blockdiagram kan vi hitta den totala överföringsfunktionen, vilken är icke-linjär i sin natur. Överföringsfunktionen för det andra ordningens system är (ω2) / {s (s + 2ζω)}. Vi ska analysera det övergångsresponderande kontrollsystemet för följande standardsignal.

Enhetsimpulsrespons : Vi har Laplacetransformen av enhetsimpulsen är 1. Låt oss nu ge denna standardsignal till ett andra ordningens system, vi har

Där ω är naturlig frekvens i rad/s och ζ är dampratio.

Enhetsstegsrespons : Vi har Laplacetransformen av enhetsimpulsen är 1/s. Låt oss nu ge denna standardsignal till ett första ordningens system, vi har

Nu ska vi se effekten av olika värden på ζ på svaret. Vi har tre typer av system baserat på olika värden på ζ.

Underdemperat system: Definierat av en dampratio (ζ) mindre än ett, detta system har komplexa rötter med negativa reella delar, vilket garanterar asymptotisk stabilitet och en kortare uppstigningstid med något överskott.

Kritiskt demperat system: Ett system anses vara kritiskt demperat när värdet på ζ är ett. I detta fall är rötterna reella i sin natur och de reella delarna är alltid upprepande i sin natur. Systemet är asymptotiskt stabilt. Uppstigningstiden är kortare i detta system och det finns inget ändligt överskott.

Överdemperat system: Ett system anses vara överdemperat när värdet på ζ är större än ett. I detta fall är rötterna reella och distinkta i sin natur och de reella delarna är alltid negativa. Systemet är asymptotiskt stabilt. Uppstigningstiden är större än i andra system och det finns inget ändligt överskott.

Hållbara oscillationer: Ett system anses vara hållbart demperat när värdet på zeta är noll. Det finns ingen dämpning i detta fall.

Nu ska vi härleda uttryck för uppstigningstid, topp-tid, maximal överskott, utnivelleringstid och stabilt tillstånds fel med en enhetsstegsinmatning för ett andra ordningens system.

Uppstigningstid: För att härleda uttrycket för uppstigningstiden måste vi sätta uttrycket för c(t) = 1. Från ovan har vi

Genom att lösa ovanstående ekvation har vi uttrycket för uppstigningstid lika med

Topp-tid: Genom att differentiera uttrycket för c(t) kan vi få uttrycket för topp-tid. dc(t)/ dt = 0 har vi uttrycket för topp-tid,

Maximal överskott: Nu är det klart från figuren att den maximala överskott kommer att inträffa vid topp-tid tp, så genom att sätta värdet av topp-tid får vi maximal överskott som

Utnivelleringstid: Utnivelleringstiden ges av uttrycket

Stabilt tillstånds fel: Det stabila felet är skillnaden mellan den faktiska utgången och den önskade utgången, så vid tiden som går mot oändligheten är det stabila felet noll.