Privremena i stabilna stanja odziva u sustavu upravljanja

Prijelazni odziv sustava upravljanja

Kao što naziv sugerira, prijelazni odziv sustava upravljanja znači promjena, koja se događa uglavnom nakon dvije situacije, a te dvije situacije su napisane kao što slijedi -

Prva situacija : Takojednom nakon uključivanja sustava, to jest na vrijeme primjene ulaznog signala sustavu.

Druga situacija : Takojednom nakon bilo kakvih neobičnih stanja. Neobična stanja mogu uključivati iznenadnu promjenu opterećenja, kratične spojeve itd.

Stalni odziv sustava upravljanja

Stalno stanje nastupa nakon što se sustav uspostavi i kada sustav počne normalno raditi. Stalni odziv sustava upravljanja je funkcija ulaznog signala i također se naziva prisilnim odzivom.

Sada prijelazni odziv sustava upravljanja daje jasan opis kako sustav funkcionira tijekom prijelaznog stanja, a stalni odziv sustava upravljanja daje jasan opis kako sustav funkcionira tijekom stalnog stanja. 

Stoga je vrlo važno analizirati vremenski odziv oba stanja. Analizirat ćemo pojedinačno obje vrste odgovora. Najprije analizirajmo prijelazni odziv. U svrhu analize prijelaznog odziva, imamo neke vremenske specifikacije, a one su napisane kao što slijedi:

Vrijeme odstupanja: Označeno sa td, ova metrika mjeri koliko treba da odziv dosegne petdeset posto svoje konačne vrijednosti prvi put.

Vrijeme uspona: Ovo vrijeme označeno je sa tr, i može se izračunati pomoću formule za vrijeme uspona. Definiramo vrijeme uspona u dvije situacije:

U slučaju podprigušenih sustava gdje je vrijednost ζ manja od jedan, u ovom slučaju vrijeme uspona definirano je kao vrijeme potrebno odzivu da dosegnje od nulte vrijednosti do stotinu postotka konačne vrijednosti.

U slučaju preprigušenih sustava gdje je vrijednost ζ veća od jedan, u ovom slučaju vrijeme uspona definirano je kao vrijeme potrebno odzivu da dosegnje od deset postotka vrijednosti do devetdeset postotka konačne vrijednosti.

Vrijeme vrha: Ovo vrijeme označeno je sa tp. Vrijeme potrebno odzivu da dosegne vrhovnu vrijednost prvi put, ovo vrijeme se naziva vrijeme vrha. Vrijeme vrha jasno je prikazano na krivulji vremenske specifikacije odziva.

Vrijeme uspostave: Ovo vrijeme označeno je sa ts, i može se izračunati pomoću formule za vrijeme uspostave. Vrijeme potrebno odzivu da dosegne i ostane unutar određenog opsega od oko (dvije do pet) posto njegove konačne vrijednosti prvi put, ovo vrijeme se naziva vrijeme uspostave. Vrijeme uspostave jasno je prikazano na krivulji vremenske specifikacije odziva.

Maksimalno pretjerivanje: Izraženo (uopće) u postotku od stalne vrijednosti, definirano je kao maksimalna pozitivna devijacija odziva od željene vrijednosti. Ovdje je željena vrijednost stalna vrijednost.

Greška u stalnom stanju: Definirana kao razlika između stvarnog izlaza i željenog izlaza dok se vrijeme približava beskonačnosti. Sada smo u položaju da analiziramo vremenski odziv prvog reda sustava.

Prijelazni i stalni odziv sustava upravljanja prvog reda

Razmotrimo blok dijagram sustava prvog reda.

Iz ovog blok dijagrama možemo pronaći ukupnu prenosnu funkciju koja je linearna prirode. Prenosna funkcija sustava prvog reda je 1/((sT+1)). Analizirat ćemo stalni i prijelazni odziv sustava upravljanja za sljedeće standardne signale.

• Jedinični impulz.

• Jedinični korak.

• Jedinični nagib.

Odziv na jedinični impulz : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulza 1. Sada dati ovaj standardni ulaz sustavu prvog reda, imamo

Sada uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednadžbe, imamo

Jasno je da stalni odziv sustava upravljanja ovisi samo o vremenskoj konstanti 'T' i da je opadanje prirode.

Odziv na jedinični korak: Laplaceova transformacija za jedinični korak je 1/s. Primjenjujući ovo na sustav prvog reda, analiziramo njegov utjecaj na ponašanje sustava.

Pomoću parcijalnih razlomaka, uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednadžbe, imamo

Jasno je da vremenski odziv ovisi samo o vremenskoj konstanti 'T'. U ovom slučaju greška u stalnom stanju je nula kada stavimo limes t teži nuli.

Odziv na jedinični nagib : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog nagiba 1/s 2.

Sada dati ovaj standardni ulaz sustavu prvog reda, imamo

Pomoću parcijalnih razlomaka, uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju gornje jednadžbe, imamo

Na crtanju eksponencijalne funkcije vremena imamo 'T' kada stavimo limes t teži nuli.

Prijelazni i stalni odziv sustava upravljanja drugog reda

Razmotrimo blok dijagram sustava drugog reda.

Iz ovog blok dijagrama možemo pronaći ukupnu prenosnu funkciju koja je nelinearna prirode. Prenosna funkcija sustava drugog reda je (ω2) / {s (s + 2ζω )}. Analizirat ćemo prijelazni odziv sustava upravljanja za sljedeće standardne signale.

Odziv na jedinični impulz : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog impulza 1. Sada dati ovaj standardni ulaz sustavu drugog reda, imamo

Gdje je ω prirodna frekvencija u rad/s i ζ je faktor prigušenja.

Odziv na jedinični korak : Imamo Laplaceovu transformaciju jediničnog koraka 1/s. Sada dati ovaj standardni ulaz sustavu prvog reda, imamo

Sada vidjet ćemo utjecaj različitih vrijednosti ζ na odziv. Imamo tri vrste sustava na temelju različitih vrijednosti ζ.

Podprigušeni sustav: Definiran faktorom prigušenja (ζ) manjim od jedan, ovaj sustav ima kompleksne korijene s negativnim realnim dijelovima, što osigurava asimptotsku stabilnost i kraće vrijeme uspona s nekim pretjerivanjem.

Kritično prigušeni sustav : Sustav se smatra kritično prigušenim kada je vrijednost ζ jedan. U ovom slučaju korijeni su realni prirode i realni dijelovi su uvijek ponavljajući. Sustav je asimptotski stabilan. Vrijeme uspona je manje u ovom sustavu i nema prisutnost konačnog pretjerivanja.

Preprigušeni sustav : Sustav se smatra preprigušenim kada je vrijednost ζ veća od jedan. U ovom slučaju korijeni su realni i različiti prirode i realni dijelovi su uvijek negativni. Sustav je asimptotski stabilan. Vrijeme uspona je veće od drugih sustava i nema prisutnost konačnog pretjerivanja.

Održani oscilacije : Sustav se smatra održanim kada je vrijednost zeta nula. Nema prigušenja u ovom slučaju.

Sada izvedimo izraze za vrijeme uspona, vrijeme vrha, maksimalno pretjerivanje, vrijeme uspostave i grešku u stalnom stanju s jediničnim korakom za sustav drugog reda.

Vrijeme uspona : Da bismo izveli izraz za vrijeme uspona, moramo izjednačiti izraz c(t) = 1. Iz gornjeg imamo

Rješavanjem gornje jednadžbe imamo izraz za vrijeme uspona jednak

Vrijeme vrha : Diferenciranjem izraza c(t) možemo dobiti izraz za vrijeme vrha. dc(t)/ dt = 0 imamo izraz za vrijeme vrha,

Maksimalno pretjerivanje : Sada je jasno iz grafa da će maksimalno pretjerivanje nastupiti u vremenu vrha tp, pa ubacivanjem vrijednosti vremena vrha dobit ćemo maksimalno pretjerivanje kao

Vrijeme uspostave : Vrijeme uspostave dano je izrazom

Greška u stalnom stanju : Greška u stalnom stanju je razlika između stvarnog izlaza i željenog izlaza, pa kada se vrijeme približava beskonačnosti, greška u stalnom stanju je nula.