Théorème de Tellegen

Ce théorème a été introduit en 1952 par l'ingénieur électrique néerlandais Bernard D.H. Tellegen. C'est un théorème très utile dans l'analyse des réseaux. Selon le théorème de Tellegen, la somme des puissances instantanées pour n branches dans un réseau électrique est nulle. Êtes-vous confus ? Expliquons. Supposons que n branches d'un réseau électrique aient des courants instantanés i1, i2, i3, …………. in respectivement à travers eux. Ces courants satisfont la loi des nœuds de Kirchhoff.

Supposons encore que ces branches aient des tensions instantanées v1, v2, v3, ……….. vn respectivement à travers elles. Si ces tensions à travers ces éléments satisfont la loi des mailles de Kirchhoff alors,

vk est la tension instantanée tension à travers la ke branche et ik est le courant instantané qui circule dans cette branche. Le théorème de Tellegen est applicable aux réseaux groupés qui comprennent des éléments linéaires, non linéaires, variant dans le temps, invariants dans le temps, et éléments actifs et passifs.

Ce théorème peut être facilement expliqué par l'exemple suivant.

Dans le réseau montré, des directions de référence arbitraires ont été sélectionnées pour tous les courants de branche, et les tensions de branche correspondantes ont été indiquées, avec une direction de référence positive à la queue de la flèche du courant.
Pour ce réseau, nous supposerons qu'un ensemble de tensions de branche satisfait la loi des mailles de Kirchhoff et qu'un ensemble de courants de branche satisfait la loi des nœuds de Kirchhoff à chaque nœud.

Nous montrerons ensuite que ces tensions et courants arbitrairement supposés satisfont l'équation.

Et c'est la condition du théorème de Tellegen.
Dans le réseau montré dans la figure, soit v1, v2 et v3 respectivement 7, 2 et 3 volts. En appliquant la loi des mailles de Kirchhoff autour de la boucle ABCDEA. Nous constatons que v4 = 2 volts est nécessaire. Autour de la boucle CDFC, v5 doit être de 3 volts et autour de la boucle DFED, v6 doit être de 2. Nous appliquons ensuite successivement la loi des nœuds de Kirchhoff aux nœuds B, C et D.
Au nœud B, si ii = 5 A, alors il est nécessaire que i2 = – 5 A. Au nœud C, si i3 = 3 A, alors i5 doit être de – 8. Au nœud D, supposons i4 à 4, alors i6 doit être de – 9. En effectuant l'opération de l'équation,

Nous obtenons,
Ainsi, le théorème de Tellegen est vérifié.

Source : Electrical4u.

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