ミルマンの定理

ミルマンの定理は、有名な電気工学教授ジェイコブ・ミルマンが提唱したこの定理に名付けられました。ミルマンの定理は、特殊なタイプの複雑な電気回路を簡略化するための非常に強力なツールです。この定理は、テブナンの定理とノートンの定理の組み合わせです。負荷間の電圧と負荷を通る電流を見つけるために非常に有用な定理です。この定理はまた並列発電機定理とも呼ばれます。
ミルマンの定理は、電圧源のみが並列接続されているか、または電圧源と電流源が並列接続されている回路に適用されます。これらを順番に説明します。

電圧源のみで構成される回路

以下の図aに示す回路を考えます。

ここでV1、V2、およびV3はそれぞれ1番目、2番目、および3番目の枝の電圧であり、R1、R2、およびR3はそれらの抵抗です。IL、RL、およびVTはそれぞれ負荷電流、負荷抵抗、および端子電圧です。
この複雑な回路は、ミルマンの定理を使用して、図bに示すように簡単に単一の等価電圧源と直列抵抗に削減できます。

ミルマンの定理に基づいて指定された等価電圧VEの値は次のようになります–

このVEはテブナン電圧であり、テブナン抵抗RTHは通常通り電圧源を短絡することによって決定することができます。したがって、RTHは次のように得られます

負荷電流と端子電圧は以下のように簡単に求めることができます

ミルマンの定理の全体的な概念を理解するために例題を見てみましょう。

例題1
図cに示す回路があります。2Ωの抵抗間の電圧と2Ωの抵抗を通る電流を求めます。

解答： この問題を解く方法はいくつかありますが、最も効果的で時間短縮になる方法はミルマンの定理以外にはありません。与えられた回路は、図dに示すように、ミルマンの定理により等価電圧VEを得ることができる回路に削減できます。


等価抵抗またはテブナン抵抗は、図eに示すように電圧源を短絡することで求めることができます。


今、オームの法則を使用して2Ωの負荷抵抗を通る必要な電流を求めることができます。

負荷間の電圧は、

電圧源と電流源の混合で構成される回路

ミルマンの定理は、並列接続された電圧源と電流源の混合を単一の等価電圧源または電流源に削減するのに役立ちます。以下の図fに示す回路を考えます。

ここではすべての文字がその慣例的な表現を意味しています。この回路は、図gに示すように削減することができます。

ここでのVEはテブナン電圧であり、ミルマンの定理に基づいて次のように得られます

RTHは、電流源をオープン回路に、電圧源をショート回路に置き換えることで得られます。

今、オームの法則を使用して負荷電流ILと端子電圧VTを簡単に求めることができます。

この概念をより適切に理解するために例題を見てみましょう。

例題2：

図hに示す回路があります。RL = 8 Ωの負荷抵抗を通る電流を求めます。

解答： この問題は難しく時間がかかるように見えるかもしれませんが、ミルマンの定理を使用すると非常に短い時間で簡単に解決できます。与えられた回路は、図iに示すように削減することができます。ここで、VEはミルマンの定理を使用して次のように得られます：


したがって、8 Ωの負荷抵抗を通る電流は、