Теорема Міллмана

Теорема Міллмана була названа на честь відомого професора електротехніки Якоба Міллмана, який запропонував ідею цієї теореми. Теорема Міллмана є дуже потужним інструментом у спрощенні спеціального типу складних електричних кіл. Ця теорема є нічим іншим, як поєднанням теореми Тевеніна та теореми Нортона. Вона дуже корисна для визначення напруги на навантаженні та струму через навантаження. Цю теорему також називають ТЕОРЕМОЮ ПАРАЛІЛЬНИХ ГЕНЕРАТОРІВ.
Теорема Міллмана застосовується до кіл, які можуть містити лише джерела напруги паралельно або суміш джерел напруги та джерел струму, підключених паралельно. Давайте розглянемо це по черзі.

Коло, що складається лише з джерел напруги

Нехай у нас є коло, показане на нижньому малюнку а.

Тут V1, V2 та V3 — це напруги відповідно 1-го, 2-го та 3-го гілок, а R1, R2 та R3 — їхні відповідні опори. IL, RL та VT — це струм навантаження, опір навантаження та термінальна напруга відповідно.
Зараз це складне коло можна легко зменшити до одного еквівалентного джерела напруги з серійним опором за допомогою теореми Міллмана, як показано на малюнку б.

Значення еквівалентної напруги VE відповідно до теореми Міллмана буде –

Цей VE нічим іншим не є, як напруга Тевеніна, а опір Тевеніна RTH може бути визначений за звичайним способом, замикуючи джерело напруги. Так RTH буде отриманий як

Тепер струм навантаження та термінальну напругу можна легко знайти за формулою

Давайте спробуємо зрозуміти всі концепції теореми Міллмана на прикладі.

Приклад – 1
Маємо коло, показане на малюнку с. Знайдіть напругу на опорі 2 Ом та струм через опір 2 Ом.

Відповідь : Ми можемо пройтися будь-яким методом розв'язання цієї задачі, але найбільш ефективний та економний за часом метод буде нічим іншим, як теорема Міллмана. Дане коло можна зменшити до кола, показаного на малюнку д, де еквівалентна напруга VE може бути отримана за теоремою Міллмана, і це буде


Еквівалентний опір або опір Тевеніна можна знайти, замикуючи джерела напруги, як показано на малюнку – е.


Тепер ми можемо легко знайти потрібний струм через опір 2 Ом за законом Ома.

Напруга на навантаженні становить,

Коло, що складається з суміші джерел напруги та струму

Теорема Міллмана також допомагає зменшити суміш джерел напруги та струму, підключених паралельно, до одного еквівалентного джерела напруги або струму. Маємо коло, показане на нижньому малюнку – f.

Тут всі літери мають свою звичайну інтерпретацію. Це коло можна зменшити до кола, показаного на малюнку – g.

Тут VE, яке нічим іншим не є, як напруга Тевеніна, яка буде отримана за теоремою Міллмана, і це буде

А RTH буде отриманий шляхом заміни джерел струму відкритими контурами, а джерел напруги — замкнутими контурами.

Тепер ми можемо легко знайти струм навантаження IL та термінальну напругу VT за законом Ома.

Давайте розглянемо приклад, щоб краще зрозуміти цю концепцію.

Приклад 2 :

Маємо коло, показане на малюнку h. Знайдіть струм через опір навантаження, де RL = 8 Ω.

Відповідь : Ця задача може здаватися складною для розв'язання та займати багато часу, але вона може бути легко розв'язана за дуже короткий час за допомогою теореми Міллмана. Дане коло можна зменшити до кола, показаного на малюнку – i. Де VE може бути отримано за допомогою теореми Міллмана,