Θεώρημα Millman

Το θεώρημα του Millman πήρε το όνομά του από τον διάσημο καθηγητή μηχανικής ηλεκτρονικών JACOB MILLMAN, ο οποίος πρότεινε την ιδέα αυτού του θεωρήματος. Το θεώρημα του Millman λειτουργεί ως ένα πολύ ισχυρό εργαλείο στην περίπτωση της απλοποίησης ειδικού τύπου πολύπλοκων ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Αυτό το θεώρημα είναι τίποτα άλλο από μια συνδυασμός του θεωρήματος Thevenin και του θεωρήματος Norton. Είναι ένα πολύ χρήσιμο θεώρημα για τον υπολογισμό της τάσης στο φορτίο και της ροής μέσω του φορτίου. Αυτό το θεώρημα είναι επίσης γνωστό ως ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΓΕΝΝΗΤΡΙΩΝ.
Το θεώρημα του Millman είναι εφαρμόσιμο σε ένα κύκλωμα που μπορεί να περιέχει μόνο πηγές τάσης σε παράλληλη σύνδεση ή μία μείξη πηγών τάσης και πηγών ροής σε παράλληλη σύνδεση. Ας τα συζητήσουμε ένα-ένα.

Κύκλωμα με μόνο πηγές τάσης

Έστω ότι έχουμε ένα κύκλωμα όπως εμφανίζεται στο παρακάτω σχήμα a.

Εδώ V1, V2 και V3 είναι οι τάσεις των αντίστοιχων 1ης, 2ης και 3ης κλάδου, ενώ R1, R2 και R3 είναι οι αντίστοιχες αντιστάσεις. IL, RL και VT είναι η ροή του φορτίου, η αντίσταση του φορτίου και η τάση στο τελευταίο σημείο αντίστοιχα.
Τώρα, αυτό το πολύπλοκο κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί εύκολα σε μια μοναδική ισοδύναμη πηγή τάσης με σειριακή αντίσταση με τη βοήθεια του θεωρήματος Millman όπως φαίνεται στο σχήμα b.

Η τιμή της ισοδύναμης τάσης VE όπως ορίζεται από το θεώρημα Millman θα είναι –

Αυτή η VE είναι τίποτα άλλο από την τάση Thevenin και η αντίσταση Thevenin RTH μπορεί να προσδιοριστεί σύμφωνα με τη συνήθη πρακτική, καταστρέφοντας την πηγή τάσης. Έτσι, η RTH θα προκύψει ως

Τώρα, η ροή του φορτίου και η τάση στο τελευταίο σημείο μπορούν να βρεθούν εύκολα με

Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε την ολόκληρη την έννοια του θεωρήματος Millman με τη βοήθεια ενός παραδείγματος.

Παράδειγμα – 1
Έχουμε ένα κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα c. Να βρεθεί η τάση πάνω στην αντίσταση 2 Ω και η ροή μέσω της αντίστασης 2 Ω.

Απάντηση : Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε μέθοδο λύσης για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, αλλά η πιο αποτελεσματική και εξοικονομητική σε χρόνο μέθοδος θα είναι καμία άλλη από το θεώρημα Millman. Το δοθέν κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα d, όπου η ισοδύναμη τάση VE μπορεί να βρεθεί με το θεώρημα Millman και είναι


Η ισοδύναμη αντίσταση ή η αντίσταση Thevenin μπορεί να βρεθεί καταστρέφοντας τις πηγές τάσης όπως φαίνεται στο σχήμα – e.


Τώρα μπορούμε εύκολα να βρούμε την απαιτούμενη ροή μέσω της αντίστασης 2 Ω αντίστασης με το νόμο Ohm.

Η τάση στο φορτίο είναι,

Κύκλωμα με μίξη πηγών τάσης και ροής

Το θεώρημα Millman είναι επίσης χρήσιμο για τη μετατροπή μίξης πηγών τάσης και ροής σε παράλληλη σύνδεση σε μια μοναδική ισοδύναμη πηγή τάσης ή ροής. Ας έχουμε ένα κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα f.

Εδώ όλα τα γράμματα εκφράζουν τη συμβατική τους παράσταση. Αυτό το κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί σε ένα κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα g.

Εδώ η VE, η οποία είναι τίποτα άλλο από την τάση Thevenin, θα προκύψει σύμφωνα με το θεώρημα Millman και είναι

Και η RTH θα προκύψει αντικαθιστώντας τις πηγές ροής με ανοιχτά κύκλωμα και τις πηγές τάσης με κλειστά κύκλ