Millman-tétel

Millman tétel nevét a híres elektrotechnikai professzor, JACOB MILLMAN-ról kapta, aki e tétel ötletének előállítója volt. A Millman tétel nagyon hatékony eszköz lehet olyan speciális, bonyolult elektrikus áramkörök egyszerűsítéséhez. Ez a tétel valójában a Thevenin-tétel és a Norton-tétel kombinációja. Nagyon hasznos tétel a feszültség meghatározásához az utasított terhelésen keresztül, valamint az áramerősség meghatározásához az utasított terhelésen keresztül. Ezt a tételt szintén PARALELLIS GENERÁTOR TÉTELEK néven is emlegetik.
Millman tétel alkalmazható olyan áramkörökre, amelyek csak feszültségforrásokat tartalmaznak párhuzamosan, vagy feszültség- és áramerősségforrásokat párhuzamosan. Nézzük ezeket sorban.

Csak feszültségforrásokból álló áramkör

Vegyünk egy áramkört, ahogy az alábbi ábra a. mutatja.

Itt V1, V2 és V3 a 1., 2. és 3. ág feszültségei, R1, R2 és R3 pedig a megfelelő ellenállások. IL, RL és VT pedig a terhelés áramerőssége, a terhelés ellenállása és a terminál feszültsége.
Ez a bonyolult áramkör könnyen egyszerűsíthető egyetlen ekvivalens feszültségforrással és soros ellenállással a Millman tétel segítségével, ahogy az ábra b. mutatja.

A Thevenin-feszültségnek megfelelő ekvivalens feszültség VE értéke a Millman tétel szerint –

Ez a VE nincs más, mint a Thevenin-feszültség, és a Thevenin-ellenállás RTH meghatározható a konvenció szerint, ha a feszültségforrást rövidzárjuk. Így RTH a következő lesz:

A terhelés áramerőssége és a terminál feszültsége most már könnyen meghatározható:

Nézzük meg a Millman tétel teljes fogalmát egy példán keresztül.

Példa – 1
Az ábra c. által adott áramkörben adjuk meg a 2 Ohm ellenálláson keresztüli feszültséget és az áramerősséget a 2 ohm ellenálláson keresztül.

Megoldás: Bármilyen megoldási módszerrel is oldhatjuk meg ezt a problémát, de a leghatékonyabb és időt takarító módszer nem más, mint a Millman tétel. Az adott áramkör egyszerűsíthető a d. ábrán látható áramkörbe, ahol az ekvivalens feszültség VE a Millman tétel segítségével meghatározható, és ez:


Az ekvivalens ellenállás vagy a Thevenin-ellenállás meghatározható a feszültségforrások rövidzárásával, ahogy az ábra e. mutatja.


Most már könnyen meghatározhatjuk a 2 Ohm terhelés ellenállásán átmenő áramerősséget a Ohm-törvény szerint.

A terhelésen keresztüli feszültség:

Feszültség- és áramerősségforrások keverékéből álló áramkör

Millman tétel segítségével a feszültség- és áramerősségforrások párhuzamosan kapcsolt keveréke is egyszerűsíthető egyetlen ekvivalens feszültség- vagy áramerősségforrássá. Nézzük egy áramkört, ahogy az alábbi ábra f. mutatja.

Itt minden betű a hagyományos jelöléseket követi. Ez az áramkör egyszerűsíthető a g. ábrán látható áramkörbe.

Itt VE nincs más, mint a Thevenin-feszültség, ami a Millman tétel szerint meghatározható, és ez:

És RTH meghatározható úgy, hogy az áramerősségforrásokat nyitva hagyjuk, a feszültségforrásokat pedig rövidzárral helyettesítjük.

Most már könnyen meghatározhatjuk a terhelés áramerősségét IL és a terminál feszültségét VT az Ohm-törvény segítségével.

Nézzünk egy példát, hogy jobban megértsük ezt a fogalmat.

Példa 2:

Az ábra h. által adott áramkörben adjuk meg a terhelés ellenállásán átmenő áramerősséget, ahol RL = 8 Ω.

Megoldás: Ez a probléma nehéznek és időigényesnek tűnhet, de a Millman tétel segítségével könnyen és gyorsan megoldható. Az adott áramkör egyszerűsíthető az i. ábrán látható áramkörbe. Itt VE a Millman tétel segítségével meghatározható,