Plot ng Root Locus sa mga System ng Pagkontrol

Tinukoy ang Teknikang Root Locus

Ang root locus sa sistema ng kontrol ay isang grafikal na pamamaraan na ginagamit upang suriin ang epekto ng pagbabago ng mga parameter ng sistema sa estabilidad at pagganap ng sistema ng kontrol.

Mga Advantahan ng Teknikang Root Locus

• Mas madali itong ipatupad kumpara sa iba pang mga paraan.

• Sa tulong ng root locus, maaari nating madaling masuri ang pagganap ng buong sistema.

• Nagbibigay ang root locus ng mas mahusay na paraan upang ipakita ang mga parameter.

Madalas gamitin sa artikulong ito ang mga tiyak na termino na may kaugnayan sa teknikang root locus na mahalaga para sa pag-unawa sa kanyang aplikasyon.

• Pangunahing Ekwasyon na May Kaugnayan sa Teknikang Root Locus : 1 + G(s)H(s) = 0 ay kilala bilang pangunahing ekwasyon. Ngayon, sa pag-differentiate ng pangunahing ekwasyon at sa pag-equate ng dk/ds equals to zero, maaari nating makuhang break away points.

• Break Away Points : Supos na may dalawang root loci na nagsisimula mula sa pole at lumilipat sa kabaligtarang direksyon, nagkakadiskarte sila sa bawat isa nang gayon, pagkatapos ng diskarte, nagsisimula silang lumipat sa iba't ibang direksyon nang simetriko. O ang mga breakaway points kung saan nangyayari ang multiple roots ng pangunahing ekwasyon 1 + G(s)H(s) = 0. Ang halaga ng K ay pinakamataas sa mga puntos kung saan ang mga sangay ng root loci ay bumabawi. Maaaring real, imaginary, o complex ang mga breakaway points.

• Break in Point : Isinusulat sa ibaba ang kondisyon ng break in upang maging bahagi ng plot: Dapat magkaroon ng root locus sa pagitan ng dalawang adjacent zeros sa real axis.

• Center of Gravity : Kilala rin itong centroid at ito ay tinukoy bilang punto sa plot kung saan nagsisimula ang lahat ng asymptotes. Matematikal, ito ay nakalkula sa pamamagitan ng pagkakaiba ng sum ng poles at zeros sa transfer function kapag hinati ito sa pagkakaiba ng kabuuang bilang ng poles at kabuuang bilang ng zeros. Ang center of gravity ay laging real at ito ay tinatakan ng σA.

Dito, ang 'N' ay kumakatawan sa bilang ng poles, at ang 'M' ay tumutukoy sa bilang ng zeros sa sistema.

• Asymptotes ng Root Loci : Ang asymptote ay nagsisimula mula sa center of gravity o centroid at patungo sa infinity sa tiyak na anggulo. Nagbibigay ang asymptotes ng direksyon sa root locus kapag sila ay umalis mula sa break away points.

• Anggulo ng Asymptotes : Gumagawa ang asymptotes ng ilang anggulo sa real axis at maaaring ikalkula ito mula sa ibinigay na pormula,

Kung saan, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N ang kabuuang bilang ng poles

M ang kabuuang bilang ng zeros.

• Anggulo ng Pagdating o Pagsikat : Inaasahang ikalkula ang anggulo ng pagsikat kapag mayroong complex poles sa sistema. Maaaring ikalkula ang anggulo ng pagsikat bilang 180-{(sum ng mga anggulo patungo sa complex pole mula sa iba pang poles)-(sum ng anggulo patungo sa complex pole mula sa zeros)}.

• Intersection ng Root Locus sa Imaginary Axis : Upang malaman ang punto ng intersection ng root locus sa imaginary axis, dapat gamitin ang Routh Hurwitz criterion. Una, hahanapin natin ang auxiliary equation at ang kaukulang halaga ng K ay magbibigay ng halaga ng punto ng intersection.

• Gain Margin : Tinukoy namin ang gain margin bilang yung disenyo ng halaga ng gain factor na maaaring i-multiply bago ang sistema maging hindi matatag. Matematikal, ibinibigay ito ng pormula

• Phase Margin : Maaaring ikalkula ang phase margin mula sa ibinigay na pormula:

• Symmetry ng Root Locus : Simetriko ang root locus sa x axis o real axis.

• Paano matukoy ang halaga ng K sa anumang punto sa root loci? Ngayon, may dalawang paraan ng pagtukoy sa halaga ng K, bawat paraan ay ilarawan sa ibaba.

• Magnitude Criteria : Sa anumang puntos sa root locus, maaari nating ilapat ang magnitude criteria bilang,

Gamit ang pormulang ito, maaari nating ikalkula ang halaga ng K sa anumang desired point.

• Gumamit ng Root Locus Plot : Ang halaga ng K sa anumang s sa root locus ay ibinigay ng

Root Locus Plot

Ang root locus plot, isang integral na bahagi ng teknikang ito, ay sinusuri ang estabilidad ng sistema. Sa pamamagitan ng paghahanap ng mga halaga ng 'K' na nagpapanatili ng estabilidad, ito ay sigurado na ang sistema ay gumagana nang optimal sa iba't ibang kondisyon.

Ngayon, may ilang resulta na dapat tandaan upang ma-plot ang root locus. Isinusulat ang mga resulta sa ibaba:

• Rehiyon kung saan umiiral ang root locus : Pagkatapos i-plot ang lahat ng poles at zeros sa plane, maaari nating madaling malaman ang rehiyon ng umiiral ng root locus sa pamamagitan ng isang simple na rule na isinusulat sa ibaba,Ang segment lamang ay ituturing sa paggawa ng root locus kung ang kabuuang bilang ng poles at zeros sa kanan ng segment ay odd.

• Paano ikalkula ang bilang ng hiwalay na root loci ? : Ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng roots kung ang bilang ng roots ay mas mataas kaysa sa bilang ng poles, kung hindi, ang bilang ng hiwalay na root loci ay katumbas ng kabuuang bilang ng poles kung ang bilang ng roots ay mas mataas kaysa sa bilang ng zeros.

Prosedura sa Pag-plot ng Root Locus

Tinitiis ang lahat ng mga punto na ito, maaari tayong gumuhit ng root locus plot para sa anumang uri ng sistema. Ngayon, ipag-uusap natin ang prosedura sa paggawa ng root locus.

• Hanapin ang lahat ng roots at poles mula sa open loop transfer function at pagkatapos i-plot sila sa complex plane.

• Ang lahat ng root loci ay nagsisimula mula sa poles kung saan k = 0 at natatapos sa zeros kung saan K tends to infinity. Ang bilang ng branches na natatapos sa infinity ay katumbas ng pagkakaiba ng bilang ng poles & bilang ng zeros ng G(s)H(s).

• Hanapin ang rehiyon ng umiiral ng root loci mula sa paraan na ilarawan sa itaas pagkatapos hanapin ang halaga ng M at N.

• Icalculate ang break away points at break in points kung mayroon.

• I-plot ang asymptotes at centroid point sa complex plane para sa root loci sa pamamagitan ng pagkalkula ng slope ng asymptotes.

• Ngayon, ikalkula ang anggulo ng pagsikat at ang intersection ng root loci sa imaginary axis.

• Ngayon, tukuyin ang halaga ng K sa pamamagitan ng anumang paraan na ilarawan ko sa itaas.

Sa pamamagitan ng pag-follow sa prosedura sa itaas, maaari kang madali gumuhit ng root locus plot para sa anumang open loop transfer function.

• Ikalkula ang gain margin.

• Ikalkula ang phase margin.

• Madali mong mabigyan ng komento ang estabilidad ng sistema sa pamamagitan ng Routh Array.