Kontrol Sistemlerinde Kök Yerleri Grafiği

Kök Yerleşim Tekniği Tanımlanıyor

Kök yerleşim kontrol sistemlerinde, sistem parametrelerinin değişmesinin kontrol sisteminin kararlılığı ve performansı üzerindeki etkilerini analiz etmek için kullanılan grafiksel bir yaklaşımdır.

Kök Yerleşim Tekniğinin Avantajları

• Kök yerleşim tekniği, diğer yöntemlere kıyasla uygulaması kolaydır.

• Kök yerleşim yardımıyla tüm sistemin performansını kolayca tahmin edebiliriz.

• Kök yerleşim, parametreleri gösterme konusunda daha iyi bir yoldur.

Bu makale, kök yerleşim tekniğine ilişkin anlayışın temelini oluşturan belirli terimleri sıkça kullanacaktır.

• Kök Yerleşim Tekniğine İlişkin Karakteristik Denklem : 1 + G(s)H(s) = 0 karakteristik denklem olarak bilinir. Şimdi bu karakteristik denklemi türetip dk/ds'yi sıfıra eşitlersek, ayrılma noktalarını elde edebiliriz.

• Ayrılma Noktaları : İki kök yerleşimin kutbundan başlayıp zıt yönlere doğru hareket ettikten sonra birbirine çarpması ve ardından simetrik bir şekilde farklı yönlerde hareket etmeye başlaması durumudur. Ya da 1 + G(s)H(s) = 0 karakteristik denkleminin çoklu kökleri oluştuğu ayrılma noktalarıdır. Kök yerleşim dallarının ayrıldığı noktalarda K'nın değeri en yüksektir. Ayrılma noktaları gerçek, hayali veya karmaşık olabilir.

• Giriş Noktası : Girişin olması gereken koşul aşağıda yazmaktadır: Kök yerleşiminin gerçek eksen üzerinde iki ardışık sıfır arasında olması gerekir.

• Ağırlık Merkezi : Ayrıca sentroid olarak da bilinir ve tüm asimptotların başladığı çizim üzerindeki nokta olarak tanımlanır. Matematiksel olarak, transfer fonksiyonundaki kutupların ve sıfırların toplamının farkı, toplam kutup sayısının ve toplam sıfır sayısının farkına bölünerek hesaplanır. Ağırlık merkezi her zaman gerçek olup σA ile gösterilir.

Burada, 'N' kutup sayısını, 'M' ise sistemin sıfır sayısını temsil eder.

• Kök Yerleşim Asimptotları : Asimptotlar, ağırlık merkezinden veya sentroidden başlayarak belirli bir açıda sonsuza kadar uzanır. Asimptotlar, kök yerleşim dallarının ayrılma noktalarından ayrıldıklarında yön sağlar.

• Asimptot Açısı : Asimptotlar, gerçek eksenle belirli bir açı yapar ve bu açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir,

Burada, p = 0, 1, 2 ……. (N-M-1)

N, toplam kutup sayısıdır

M, toplam sıfır sayısıdır.

• Gelişme veya Çıkış Açısı : Sistemin karmaşık kutupları varsa, çıkış açısını hesaplarız. Çıkış açısı, 180-{(diğer kutuplardan bir karmaşık kutupa olan açıların toplamı)-(sıfırlardan bir karmaşık kutupa olan açıların toplamı)} formülüyle hesaplanabilir.

• Kök Yerleşimin Sanal Eksen ile Kesişimi : Kök yerleşimin sanal eksenle kesiştiği noktayı bulmak için Routh-Hurwitz kriterini kullanmalıyız. Öncelikle yardımcı denklemi bulduktan sonra, karşılık gelen K değeri kesişim noktasının değerini verecektir.

• Kazancın Marjı : Kazancın marjı, sistemin kararsız hale gelmeden önce kazanç faktörünün tasarım değerinin ne kadar katına çıkarılabileceği ile tanımlanır. Matematiksel olarak, aşağıdaki formülle verilir:

• Faz Marjı : Faz marjı, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

• Kök Yerleşimin Simetriği : Kök yerleşim, x eksenine veya gerçek eksenine göre simetriktir.

• Kök yerleşim üzerinde herhangi bir noktada K'nın değerini nasıl belirleyeceğiz? Şimdi K'nın değerini belirlemenin iki yolu vardır, her iki yöntem de aşağıda açıklanmıştır.

• Genlik Kriteri : Kök yerleşim üzerinde herhangi bir noktada genlik kriterini uygulayabiliriz,

Bu formülü kullanarak, istediğiniz herhangi bir noktadaki K değerini hesaplayabilirsiniz.

• Kök Yerleşim Grafiğini Kullanarak : Kök yerleşim üzerinde herhangi bir s noktasındaki K değeri, şu şekilde verilir:

Kök Yerleşim Grafiği

Kök yerleşim grafiği, bu teknikte integral bir parçadır ve bir sistemin kararlılığını değerlendirir. Sistemin çeşitli koşullar altında optimal performans göstermesini sağlamak için, kararlılık sağlayan K değerlerini bulur.

Şimdi kök yerleşim grafiğini çizmek için bazı sonuçları hatırlamanız gerekmektedir. Bu sonuçlar aşağıda yazılmıştır:

• Kök yerleşimin olduğu bölge : Tüm kutupları ve sıfırları düzlem üzerinde çizdikten sonra, aşağıdaki basit kuralı kullanarak kök yerleşimin olduğu bölgeyi kolayca bulabiliriz,Segmentin sağ tarafındaki toplam kutup ve sıfır sayısı tek sayıysa, o segment kök yerleşiminde dikkate alınır.

• Ayrı kök yerleşimlerinin sayısını nasıl hesaplarız ? : Ayrı kök yerleşimlerinin sayısı, kök sayısı kutup sayısından fazlaysa, toplam kök sayısına eşittir, aksi halde ayrı kök yerleşimlerinin sayısı, sıfır sayısı kutup sayısından fazlaysa, toplam kutup sayısına eşittir.

Kök Yerleşim Grafiğini Çizme Prosedürü

Bunları göz önünde bulundurarak, her türlü sistemin kök yerleşim grafiğini çizmeyi öğrenebiliriz. Şimdi kök yerleşim grafiğini çizme prosedürünü tartışalım.

• Açık döngü transfer fonksiyonundan tüm kökleri ve kutupları bulun ve bunları karmaşık düzlem üzerinde çiziniz.

• Tüm kök yerleşim dalları, K = 0 olduğunda kutuplardan başlar ve K sonsuza giderken sıfırlarda sonlanır. Sonsuzda sonlanan dal sayısı, G(s)H(s)'nin kutup sayısının ve sıfır sayısının farkına eşittir.

• Yukarıda belirtilen yöntemle M ve N değerlerini bulduktan sonra, kök yerleşimlerinin olduğu bölgeyi bulun.

• Herhangi varsa ayrılma noktalarını ve giriş noktalarını hesaplayın.

• Asimptotların eğimini hesaplayarak, kök yerleşimleri için asimptotları ve sentroid noktasını karmaşık düzlem üzerinde çiziniz.

• Şimdi çıkış açısını ve kök yerleşimlerinin sanal eksenle kesişme noktasını hesaplayın.

• Şimdi yukarıda açıklanan herhangi bir yöntemi kullanarak K'nın değerini belirleyin.

Bu prosedürü takip ederek, herhangi bir açık döngü transfer fonksiyonu için kolayca kök yerleşim grafiğini çizabilirsiniz.

• Kazancın marjını hesaplayın.

• Faz marjını hesaplayın.

• Routh Dizisi kullanarak sistemin kararlılığı hakkında kolayca yorum yapabilirsiniz.